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第六章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(多选)若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是( )
A.AB与CD共线
B.AC与BD相等
C.AD与CB模相等,方向相反
D.AB与CD模相等
答案ACD
解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,故A,D正确;AC=BD但AC与BD的方向不同,故B不正确;AD=CB且AD∥CB,AD与CB的方向相反,故C正确.
2.
在五边形ABCDE中(如图),AB+BC-DC=( )
A.AC B.AD
C.BD D.BE
答案B
解析∵AB+BC-DC=AC+CD=AD.
3.(多选)已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行且方向相反的向量a可能是( )
A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)
答案AD
解析∵AB=(1,2),∴a=(-1,-2)=-(1,2)=-AB,∴A正确.
a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4AB,∴D正确.
4.已知A(x,2),B(5,y-2),若AB=(4,6),则x,y的值分别为( )
A.x=-1,y=0 B.x=1,y=10
C.x=1,y=-10 D.x=-1,y=-10
答案B
解析∵A(x,2),B(5,y-2),
∴AB=(5-x,y-4)=(4,6),
∴5-x=4,y-4=6,解得x=1,y=10,
故选B.
5.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
答案A
解析由原式可得3x-4y=6,2x-3y=3,解得x=6,y=3,
∴x-y=3.
6.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
答案D
解析为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,
∴f4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).
7.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案A
解析充分性:若m=-6,a+b=(-1,2)+(3,-6)=(2,-4),则-12=2-4=-12,a=-12(a+b),可推出a∥(a+b),故充分性成立;必要性:若a∥(a+b),则a+b=ka,2+m=2k,2=-k,解得m=-6,故必要性成立;综上所述,“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选A.
8.关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是( )
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.以上说法都不正确
答案B
解析根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.
9.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则用a,b表示c为( )
A.c=12a-32b B.c=-12a+32b
C.c=32a-12b D.c=-32a+12b
答案A
解析设c=x1a+x2b,
因为向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),
所以(-1,2)=(x1+x2,x1-x2),
x1+x2=-1,x1-x2=2,
解得x1=12,x2=-32,
所以c=12a-32b,故选A.
10.
已知AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,设AD=a,BE=b,则BC等于( )
A.43a+23b
B.23a+43b
C.23a-43b
D.-23a+43b
答案B
解析由题意得BE=12(BA+BC),
所以2BE=BA+BC,①
同理得2AD=AB+AC=-BA+(BC-BA)
=-2BA+BC,
即2AD=-2BA+BC.②
①×2+②得4BE+2AD=3BC,
即4b+2a=3BC,
所以BC=23a+43b.选B.
11.如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且AP=14AB+12AC,则△BPC与△ABC的面积之比等于( )
A.25 B.35
C.34 D.14
答案D
解析延长AP交BC于点D,因为A,P,D三点共线,
所以CP=mCA+nCD(m+n=1),设CD=kCB,
代入可得CP=mCA+nkCB,
即AP-AC=-mAC+nk(AB-AC)⇒AP=(1-m-nk)AC+nkAB,
又因为AP=14AB+12AC,即nk=14,1-m-nk=12,且m+n=1,
解得m=14,n=34,
所以CP=14CA+34CD可得AD=4PD.
因为△BPC与△ABC有相同的底边,所以面积之比就等于|DP|与|AD|之比,
所以△BPC与△ABC的面积之比为14,故选D.
12.如图,在同一个平面内,三个单位向量OA,OB,OC满足条件:OA与OC的夹角为α,且tan α=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n的值为( )
A.3 B.322
C.32 D.22
答案B
解析建立如图所示的平面直角坐标系,
由tanα=7知α为锐角,且sinα=7210,cosα=210,故cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45.
∴点B,C的坐标为-35,45,210,7210,
∴OB=-35,45,OC=210,7210.
又OC=mOA+nOB,
∴210,7210=m(1,0)+n-35,45,
∴m-35n=210,45n=7210,解得m=528,n=728,
∴m+n=528+728=322.选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R).则|a+b|的取值范围为 .
答案[2,+∞)
解析因为a+b=(x,x+2),
所以|a+b|=x2+(x+2)2=2x2+4x+4
=2(x+1)2+2≥2,
所以|a+b|∈[2,+∞).
14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ等于 ,此时a,b方向 .(填“相同”或“相反”)
答案-32 相反
解析因为a,b共线,
所以由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,
即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.
又因为e1,e2不共线,
所以1=-2k,λ=3k,解得λ=-32,k=-12,由于k<0,所以a,b方向相反.
15.在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且|BO|=3|CO|,当AO=xAB+yAC时,x-y= .
答案-2
解析由|BO|=3|CO|,得BO=3CO,
则BO=32BC,
所以AO=AB+BO=AB+32BC=AB+32(AC-AB)
=-12AB+32AC.
所以x=-12,y=32,
所以x-y=-12-32=-2.
16.如图,正六边形ABCDEF中,若AD=λAC+μAE(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 .
答案43
解析连接EC交AD于点M,连接FC交AD于点O,如下图:
由题可得:O为AD的中点,M为AD的一个四等分点,且MD=14AD,M为EC中点,
所以AD=43AM=43×12(AC+AE)=λAC+μAE,
所以λ=23,μ=23,
所以λ+μ=43.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)若OA=(sin θ,-1),OB=(2sin θ,2cos θ),其中θ∈0,π2,求|AB|的最大值.
解∵AB=OB-OA=(sinθ,2cosθ+1)⇒
|AB|=sin2θ+4cos2θ+4cosθ+1
=3cos2θ+4cosθ+2
=3(cosθ+23) 2+23,
∴当cosθ=1,即θ=0时,|AB|取得最大值3.
18.(12分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
解(1)由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
∵AB=2e1-8e2,
∴AB=2BD.
又∵AB与BD有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
(2)由(1)可知BD=e1-4e2,
∵BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
∴BF=λBD(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,
即λ=3,-k=-4λ.解得k=12.
19.(12分)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,设AB=a,AD=b.
(1)用a和b表示向量AE,AF;
(2)若AC=λAE+μAF,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.
解(1)在平行四边形ABCD中,AE=AD+DE,AF=AB+BF.
因为E和F分别是边CD和BC的中点,AB=a,AD=b,
所以AE=12a+b,AF=a+12b.
(2)由(1)得AE+AF=32(a+b),
又∵AC=a+b,∴AC=23(AE+AF),
又∵AC=λAE+μAF,
∴λ=μ=23,∴λ+μ=43.
20.(12分)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.
(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.
(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.
解(1)因为四边形OACB是平行四边形,
所以OA=BC,即(a,0)=(2,2-b),
a=2,2-b=0,解得a=2,b=2.故a=2,b=2.
(2)因为AB=(-a,b),BC=(2,2-b),
由A,B,C三点共线,得AB∥BC,
所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,
因为a>0,b>0,
所以2(a+b)=ab≤a+b22,
即(a+b)2-8(a+b)≥0,
解得a+b≥8或a+b≤0.
因为a>0,b>0,
所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.
当且仅当a=b=4时,“=”成立.
21.(12分)在△ABC中,AM=34AB+14AC.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y的值.
解(1)在△ABC中,AM=34AB+14AC,
4AM=3AB+AC,3(AM-AB)=AC-AM,
即3BM=MC,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.
故△ABM与△ABC的面积之比为14.
(2)因为AM=34AB+14AC,AM∥AP,
AP=xAB+yAC(x,y∈R),所以x=3y,
因为N为AB的中点,
所以NP=AP-AN=xAB+yAC-12AB
=x-12AB+yAC,
CP=AP-AC=xAB+yAC-AC
=xAB+(y-1)AC,
因为NP∥CP,所以x-12(y-1)=xy,
即2x+y=1,又x=3y,
所以x=37,y=17,所以x+y=47.
22.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b),n=(cos A,cos B),p=(22sin B+C2,2sin A),若m∥n,|p|=3.
(1)求角A,B,C的值;
(2)若x∈0,π2,求函数f(x)=sin Asin x+cos Bcos x的最大值与最小值.
解(1)∵m∥n,∴acosB=bcosA,
由正弦定理,得sinAcosB=sinBcosA,
∴sin(A-B)=0,
又-π<A-B<π,∴A=B,
而p2=|p|2=8sin2B+C2+4sin2A=9,
∴8cos2A2+4sin2A=9,
∴4(1+cosA)+4(1-cos2A)=9,
∴4cos2A-4cosA+1=0,
∴(2cosA-1)2=0,
∴cosA=12,又0<A<π,∴A=π3,
∴A=B=C=π3.
(2)f(x)=sinxcosπ6+cosxsinπ6
=sinx+π6,
∵x∈0,π2,∴x+π6∈π6,2π3,
∴x=0时,f(x)min=f(0)=12,
x=π3时,f(x)max=fπ3=1.
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