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课时7 指数函数与对数函数的关系
知识点一 反函数的概念
1.函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )
A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)
C．y＝ln x(x>0) D．y＝ln (2x)(x>0)
答案 C
解析 y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝ln x，x>0.
2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( )
A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1)
C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)
答案 D
解析 ∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.
知识点二 反函数的性质
3.如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是( )
答案 C
解析 由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C.
4．若函数y＝f(x)是函数y＝g(x)＝a2x的反函数(a>0，且a≠1)，且f(4)＝1，则a＝________.
答案 2
解析 由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，且f(4)＝1得g(1)＝4，所以a2＝4，a＝2.
5．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点________．
答案 (1,4)
解析 ∵y＝f(x)的图像过点(0,1)，
∴f(4－x)的图像过点(4,1)，
∴g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)．
知识点三 指数函数与对数函数的综合应用
答案 A
解析
7．已知函数f(x)＝log2(1－2x)．
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
解 (1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0，
即2x<1.
故x<0，此时0<1－2x<1，
∴f(x)＝log2(1－2x)<0，
故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．
(2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称．
易错点 对反函数的定义理解不清而致误
8.已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2018)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．
易错分析 本题容易误认为f(x＋1)与f－1(x＋1)互为反函数．
答案 (0,2019)
正解 ∵g(x)的图像过定点(1,2018)，
∴f(x＋1)的图像过定点(2018,1)．
又∵f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2019,1)．
又∵f(x)与f－1(x)互为反函数，
∴f－1(x)的图像过定点(1,2019)．
再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，
f－1(x＋1)的图像过定点(0,2019)．
一、选择题
1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )
A．y＝1＋log2x(x>0)
B．y＝log2(x－1)(x>1)
C．y＝－1＋log2x(x>0)
D．y＝log2(x＋1)(x>－1)
答案 C
解析 由y＝2x＋1⇒x＋1＝log2y⇒x＝－1＋log2y，又因原函数的值域{y|y>0}，故其反函数是y＝－1＋log2x(x>0)．
2．当0<a<1时，方程logax＝ax的实数解( )
A．有且只有一个 B．可能无解
C．可能有3个 D．一定有3个
答案 C
解析
3．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则a的值为( )
A．2 B.
C．2或 D．3
答案 B
解析 解法一：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数即y＝logax，故y＝logax的图像过点(，a)，则a＝loga＝.
解法二：由题意得，函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图像过点(，a)，则函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像过点(a，)，即aa＝＝，故a＝.
4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是( )
答案 B
解析 解法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C.
其次，从单调性来看，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.∴应选B.
解法二：若0<a<1，则曲线y＝ax下降且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．
若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．
5．已知函数y＝f(x)的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x)≤的解集是( )
A.
B.
C．[－2,0)∪
D．[－1,0]∪
答案 C
解析 由题意，可得－1≤f－1(x)≤的解集即为f(x)在上的值域．
当－1≤x＜0时，由题图可知f(x)∈[－2,0)，
当0≤x≤时，由题图可知f(x)∈.
故不等式－1≤f－1(x)≤的解集为[－2,0)∪.
二、填空题
6．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2.(填“＞”“＝”或“＜”)
答案 ＜
解析 函数y1＝log3x与函数y2＝3x在区间(0，＋∞)上都是增函数，但y2＝3x增长得快，所以Δy1＜Δy2.
7．已知函数f(x)＝ax－k的图像过点(1,3)，其反函数y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，则f(x)的表达式为________．
答案 f(x)＝2x＋1
解析 ∵y＝f－1(x)的图像过点(2,0)，
∴y＝f(x)的图像过点(0,2)，
∴2＝a0－k，∴k＝－1，
∴f(x)＝ax＋1.
又∵y＝f(x)的图像过点(1,3)，∴3＝a1＋1，
∴a＝2，∴f(x)＝2x＋1.
答案 (－∞，－1]
解析 由题意得f(x)＝x，
∴f(x2＋2x)＝x2＋2x，
∵f(x)在R上是减函数，
∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t＝x2＋2x的单调减区间，即(－∞，－1]．
三、解答题
9．若不等式4x－logax＜0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围．
解 要使不等式4x＜logax在x∈时恒成立，即函数y＝logax的图像在内恒在函数y＝4x图像的上方，而y＝4x的图像过点.
由图可知，loga≥2，显然这里0＜a＜1，
∴函数y＝logax递减．
又loga≥2＝logaa2，∴a2≥，
又0<a<1，∴a≥.
∴所求的a的取值范围为.
10．已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0.
(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函数；
(3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2.
解 (1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝.
因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数．
(2)因为f(x)＝y＝＝1－，
所以2x＝(－1＜y＜1)，
所以f－1(x)＝log2(－1＜x＜1)．
(3)因为f－1(x)＞log2，
即log2＞log2，所以
所以
当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}；
当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．
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