1、课时作业26棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A180 B200 C220 D240答案D解析该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为(28)4240.四个侧面的面积和为(2852)10200.所以四棱柱的表面积为S40200240.2正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于()Aa2 Ba2 Ca2 Da2答案A解析侧棱长为 a，斜高为 ，S侧3aa2.3已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为
2、_答案8048解析如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，过B1作B1FBC，垂足为F，在RtB1FB中，BF(84)2，B1B8，故B1F2，所以S梯形BB1C1C(84)212，故四棱台的侧面积S侧41248，所以四棱台的表面积S表4844888048.知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积4.设正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面中心)的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为()A6 B C2 D2答案B解析由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为，可知高h2，又底面积S，所以体积VSh2.5某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4 B C D6答案B解析由四棱台的三视图
3、可知，台体上底面面积S1111，下底面面积S2224，高h2，代入台体的体积公式得V(S1S2)h(14)2.6若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_cm3.答案24解析由三视图可知原几何体如图所示所以VVABCA1B1C1VMABCSABC5SABC334534330624(cm3)一、选择题1将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A6a2 B12a2 C18a2 D24a2答案B解析棱长为a的正方体的表面积为S16a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S22718a2，因此表面积增加了12a2，故选B2某几何体的
4、三视图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为()A204 B24C244 D28答案A解析由三视图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为52242204.3若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A B5 C D4答案D解析易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底122124，高为1，故此几何体的体积V414.4某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示(单位：cm，图中水平线与竖线垂直)，则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计
5、)()A100(3) cm2 B200(3) cm2C300(3) cm2 D300 cm2答案A解析由三视图可知，该几何体是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10 cm，故底面面积为1010100(cm2)，与底面垂直的两个侧面是全等的直角三角形，两直角边的长度分别为10 cm，20 cm，故它们的面积均为100 cm2，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的一边，长10 cm，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为10(cm)，故此两侧面的面积均为 50 cm2，所以此四棱锥的表面积为S100(3) c
6、m2.5如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，该多面体的体积为()A20 B20 C10 D10答案A解析连接EB，EC，四棱锥EABCD的体积VEABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.VFEBCVCEFBVCABEVEABCVEABCD4.VVEABCDVFEBC16420.二、填空题6如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为_答案(2)a2解析正方体的棱长为a，新几何体的上、下两个面的面积都是a2，左、右两
7、个面是正方形，面积均为2，前、后两个面为平行四边形，面积分别等于原几何体中前、后两个面的面积，都为2，所以此几何体的全面积为S全2a242(2)a2.7已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30，则斜高为_；侧面积为_；全面积为_答案4 cm32 cm248 cm2解析如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角POE.OE2 cm，OPE30，斜高PE4(cm)，S正四棱锥侧44432(cm2)，S正四棱锥全423248(cm2)8如图所示，在上、下底面对应边的比为12的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱
8、C1C的平面A1B1EF，记平面将三棱台分成体积为V1(三棱柱A1B1C1FEC)，V2的两部分，那么V1V2_.答案34解析设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，V台h(S4S2S)Sh，V1Sh，.三、解答题9已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积解解法一：在侧面B1BCC1内作B1FBC，E为BC的中点，E1为B1C1的中点，连接EE1，在RtB1FB中，设B1Fh，BF(84)2(cm)，B1B8(cm)，B1F2(cm)，斜高hB1F2(cm)S正四棱台侧4(48)248(cm2)解法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，分别取BC
9、，B1C1的中点E，E1，连接PE.如图设PB1x cm，则，得x8.PB1B1B8(cm)，E1为PE的中点，PE12(cm)，PE2PE14(cm)SABCDA1B1C1D1侧SPABCD侧SPA1B1C1D1侧48PE44PE148444248(cm2)正四棱台的侧面积为48 cm2.10如下图，已知某几何体的三视图如下图所示(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体ABCDA1B1C1D1及直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)B1C1QA1D1P的组合体由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积为S522222()2224(cm2)，所求几何体的体积V23()2210(cm3)- 9 -
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