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课时作业26 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )
A．180 B．200
C．220 D．240
答案 D
解析 该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4的等腰梯形，所以底面面积为×(2＋8)×4×2＝40.四个侧面的面积和为(2＋8＋5×2)×10＝200.所以四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.
2．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
答案 A
解析 侧棱长为 ＝a，斜高为
＝，∴S侧＝×3×a×＝a2.
3．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．
答案 80＋48
解析 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
故B1F＝＝2，
所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，
故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，
所以四棱台的表面积S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
4.设正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面中心)的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为( )
A．6 B．
C．2 D．2
答案 B
解析 由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.
5．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
A．4 B．
C． D．6
答案 B
解析 由四棱台的三视图可知，台体上底面面积S1＝1×1＝1，下底面面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式得V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.
6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
答案 24
解析 由三视图可知原几何体如图所示．
所以V＝VABC－A1B1C1－VM－ABC＝S△ABC·5－S△ABC·3＝×3×4×5－××3×4×3＝30－6＝24(cm3)．
一、选择题
1．将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
答案 B
解析 棱长为a的正方体的表面积为S1＝6a2，由棱长为a的正方体切成的27个全等的小正方体的表面积和为S2＝27×＝18a2，因此表面积增加了12a2，故选B．
2．某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．20＋4 B．24
C．24＋4 D．28
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4××2×＝20＋4.
3．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )
A． B．5
C． D．4
答案 D
解析 易知该几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面面积S底＝1×2＋×2×1×2＝4，高为1，故此几何体的体积V＝4×1＝4.
4．某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示(单位：cm，图中水平线与竖线垂直)，则制作该工件用去的铁皮的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计)( )
A．100(3＋) cm2 B．200(3＋) cm2
C．300(3＋) cm2 D．300 cm2
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为10 cm，故底面面积为10×10＝100(cm2)，与底面垂直的两个侧面是全等的直角三角形，两直角边的长度分别为10 cm，20 cm，故它们的面积均为100 cm2，另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的一边，长10 cm，另一边可在与底面垂直的直角三角形中求得，其长为＝10(cm)，故此两侧面的面积均为 50 cm2，所以此四棱锥的表面积为S＝100(3＋) cm2.
5．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，该多面体的体积为( )
A．20 B．20
C．10 D．10
答案 A
解析 连接EB，EC，四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝×42×3＝16.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴VF－EBC＝VC－EFB＝VC－ABE＝VE－ABC＝×VE－ABCD＝4.∴V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.
二、填空题
6．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________．
答案 (2＋)a2
解析 正方体的棱长为a，新几何体的上、下两个面的面积都是a2，左、右两个面是正方形，面积均为2，前、后两个面为平行四边形，面积分别等于原几何体中前、后两个面的面积，都为2，所以此几何体的全面积为S全＝2×a2＋4×2＝(2＋)a2.
7．已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________；侧面积为________；全面积为________．
答案 4 cm 32 cm2 48 cm2
解析 如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝＝＝4(cm)，
∴S正四棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)，
S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．
8．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面将三棱台分成体积为V1(三棱柱A1B1C1－FEC)，V2的两部分，那么V1∶V2＝________.
答案 3∶4
解析 设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，∴V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
V1＝Sh，∴＝＝.
三、解答题
9．已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．
解 解法一：在侧面B1BCC1内作B1F⊥BC，E为BC的中点，E1为B1C1的中点，连接EE1，在Rt△B1FB中，
设B1F＝h′，BF＝(8－4)＝2(cm)，B1B＝8(cm)，
∴B1F＝＝2(cm)，
∴斜高h′＝B1F＝2(cm)．
∴S正四棱台侧＝4××(4＋8)×2＝48(cm2)．
解法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，分别取BC，B1C1的中点E，E1，连接PE.
如图设PB1＝x cm，
则＝，得x＝8.
∴PB1＝B1B＝8(cm)，
∴E1为PE的中点，
∴PE1＝＝2(cm)，
PE＝2PE1＝4(cm)．
∴SABCD－A1B1C1D1侧＝SP－ABCD侧－SP－A1B1C1D1侧
＝4××8×PE－4××4×PE1
＝4××8×4－4××4×2
＝48(cm2)．
∴正四棱台的侧面积为48 cm2.
10．如下图，已知某几何体的三视图如下图所示(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解 (1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体ABCD－A1B1C1D1及直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积为
S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
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