1、第1课时 柱、锥、台的表面积和体积A基础达标1若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12B1C1 D.2解析：选C.设圆锥底面半径为r，则高h2r，所以其母线长lr.所以S侧rlr2，S底r2，S底S侧1.2.如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A. B.C. D.解析：选C.因为VCABCVABCABC，所以VCAABB1.3(2018高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10解析：选B.设所截正方形的边长为 a，则 a2
2、8，即 a2.所以圆柱的母线长为 2，底面圆半径 r，所以圆柱的表面积为 22()228412.4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，则四棱锥PABCD的体积为()A.B.C. D.解析：选B.因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是面A1B1C1D1内任意一点，所以点P到平面ABCD的距离dAA11，S正方形ABCD111，所以四棱锥PABCD的体积为：VPABCDAA1S正方形ABCD11.故选B.5(2019临川检测)一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平
3、状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A. B.C2 D.解析：选 D因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，所以棱柱 EFCBE1F1C1B1 的体积 VS梯形EFCB3SABC3SABC.设甲中水面的高度为 h，则 SABChSABC，解得h，故选 D.6已知圆柱 OO的母线 l4 cm，表面积为 42 cm2，则圆柱 OO的底面半径 r_cm.解析：圆柱 OO的侧面积为 2rl8r(cm2)，两底面面积为 2r22r2(cm2)，所以 2r28r42，解得 r3 或 r7(舍去)，所以圆柱的底面半径为 3 cm.答案：37表面积
4、为 3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为_解析：设圆锥的母线为 l，圆锥底面半径为 r，由题意可知，rlr23，且 l2r.解得 r1，即直径为 2.答案：28圆柱内有一个内接长方体 ABCDA1B1C1D1，长方体的体对角线长是 10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是 100 cm 2，则圆柱的底面半径为_cm，高为_cm.解析：设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：所以即圆柱的底面半径为 5 cm，高为 10 cm.答案：5109如图，已知正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的
5、 2 倍，正三棱锥的高 SO3，求此正三棱锥的表面积解：如图，设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h，过点 O 作 OEAB，与 AB 交于点 E，连接 SE，则 SEAB，SEh.因为 S侧2S底，所以 3aha22.所以 ah.因为 SOOE，所以 SO2OE2SE2.所以 32h2.所以 h2，所以 ah6.所以 S底a2629，S侧2S底18.所以 S表S侧S底18927.10若 E，F 是三棱柱 ABCA1B1C1 侧棱 BB1和 CC1 上的点，且 B1E CF，三棱柱的体积为 m，求四棱锥 ABEFC 的体积解：如图所示，连接 AB1，AC1.因为 B1E CF，所以 梯形 BE
6、FC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 AB1EFC1 的高相等，所以 V ABEFCVAB1EFC1VABB1C1C.又 VA A1B1C1SA1B1C1h，VABCA1B1C1SA1B1C1hm，所以VAA1B1C1，所以 VABB1C1CVABCA1B1C1VAA1B1C1m.所以 VABEFCm，即四棱锥 ABEFC 的体积是.B能力提升11(2018高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4C6 D8解析：选 C由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V(
7、12)226.故选 C.12(2019高考全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有_个面，其棱长为_解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓
8、是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则xxx1，解得x1，故题中的半正多面体的棱长为1.答案：26113用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_解析：如图为棱长为 1 的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图所示，由图知正方形的边长为 2，其面积为 8.答案：814如图所示，已知三棱柱ABCABC，侧面BBCC的面积是S，点A到侧面BBCC的距离是a，求证：三棱柱ABCABC的体积VSa.证明：法一：如图所示，连接AB，AC，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥显然三棱锥AA
9、BC的体积是V，而四棱锥ABCCB的体积为Sa，故有VSaV，所以三棱柱ABCABC的体积VSa.法二：如图所示，将三棱柱ABCABC补成一个四棱柱ACBDACBD，其中ACBD，ADBC，即ACBD为一个平行四边形，显然三棱柱ABDABD的体积与原三棱柱ABCABC的体积相等因为四棱柱ACBDACBD以BCCB为底面，高为点A到面BCCB的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa，于是三棱柱ABCABC的体积VSa.C拓展探究15某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是
10、新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪种方案更经济些？解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V14(m3)；方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2896(m3)(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2.方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，此时圆锥的母线长为l14(m)，则仓库的表面积S18(84)(6432)(m2)；方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l210(m)，则仓库的表面积S26(610)96(m2)(3)因为V2V1，S2S1，所以方案二比方案一更加经济- 7 -
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