资源描述
2.1 等式性质与不等式性质
一、选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A<B或A>B D．A>B
解析：因为A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，所以A≥B.
答案：B
2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>－b，则c－a<c＋b
C．若a>b，c<d，则> D．若a2>b2，则－a<－b
解析：选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．
答案：B
3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1.
又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，
又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.
答案：A
4．有四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.若<<0，则不正确的不等式的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①不正确；a>b，②不正确；a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.
答案：C
二、填空题
5．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)．
解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
答案：<
6．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．
解析：c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.
答案：c－2b
7．给定下列命题：
①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d.
其中错误的命题是________(填写相应序号)．
解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．
答案：①②③④⑤
三、解答题
8．已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)·，
因为x<1，所以x－1<0，
又因为2＋>0，
所以(x－1)<0，
所以x3－1<2x2－2x.
9．若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明：因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，所以≤.
[尖子生题库]
10．设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解析：方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5,10]．
方法二 由，得，
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5,10].
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