资源描述
2.1 等式性质与不等式性质
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若a>b，则b2＋1与3b－a的大小关系是( )
A．b2＋1>3b－a B．b2＋1≥3b－a
C．b2＋1<3b－a D．b2＋1≤3b－a
答案 A
解析 b2＋1－(3b－a)＝b2－2b＋1＋(a－b)＝(b－1)2＋(a－b)．又a>b，∴a－b>0.又(b－1)2≥0，
∴(b－1)2＋(a－b)>0，即b2＋1>3b－a.
2．若<<0(a，b∈R)，则下列不等式恒成立的是( )
A．a<b B．a＋b>ab
C．|a|>|b| D．ab<b2
答案 D
解析 ∵<<0，∴b<a<0，故A不对；又∵a＋b<0，ab>0，∴a＋b<ab，故B不对；由b<a<0知|a|<|b|，故C不对；D中ab－b2＝b(a－b)<0，即ab<b2.故选D.
3．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )
A．ac2>bc2 B．a－d>b－c
C．ad<bd D．a2>b2
答案 B
解析 对于A，若c＝0，则A不成立；对于B，正确．对于C，若d为正数，则C不正确；对于D，若a，b为负数，则D不正确，综上选B.
4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
答案 A
解析 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0.
5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )
A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz
答案 B
解析 解法一：因为x<y<z，a<b<c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz.又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，故az＋by＋cx<ay＋bz＋cx.
综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx.
解法二(特殊值法)：若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.
二、填空题
6．有以下四个条件：
①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.
其中能使<成立的有________．
答案 ①②④
解析 ①因为b>0>a，所以>0>；
②因为0>a>b，所以<<0；
③因为a>0>b，所以>0>；
④因为a>b>0，所以>>0.
7．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________．
答案 27＜x－y＜56 ＜＜3
解析 ∵28＜y＜33，
∴－33＜－y＜－28，＜＜.
又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，＜＜，
即＜＜3.
8．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件为________．
答案 ab≠1或a≠－2
解析 ∵x＞y，
∴x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，
∴ab－1≠0或a＋2≠0，
即ab≠1或a≠－2.
三、解答题
9．设a>b>0，试比较与的大小．
解 解法一(作差法)：
－
＝
＝
＝.
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，
∴>.
解法二(作商法)：
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
10．甲、乙两位采购员同去一家销售公司各自买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1000 kg，乙每次购粮用去1000元钱，谁的购粮方式更合算？
解 设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b，则甲采购员两次购粮的平均单价为＝(元/kg)，乙采购员两次购粮的平均单价为＝(元/kg)．
∵－＝＝，
又∵a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，
∴＞0，即＞.
∴乙采购员的购粮方式更合算．
B级：“四能”提升训练
1．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，求的取值范围．
解 由已知及三角形的三边关系得
⇒⇒
两式相加得0<2×<4，
所以的取值范围为(0,2)．
2．已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，求2x－3y的取值范围．
解 设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y，
∴解得
∴2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)．
∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<.
∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8，
即3<2x－3y<8.
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