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课时作业27 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π B．4π
C．2π＋4 D．3π＋4
答案 D
解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．
则该几何体的表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.
2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
答案 A
解析 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是________．
答案 3π
解析 设圆锥的底面半径为r，由于轴截面面积为，则r＝1，母线长为2.
∴S侧＝×2×2π＝2π，S底＝π×12＝π，
∴S表＝2π＋π＝3π.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
答案 38
解析 由三视图可知，该几何体是从一个长方体中挖去一个圆柱得到的．其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38，圆柱的侧面积S2＝2π×1×1＝2π，该圆柱的上、下底面面积和S3＝2×π×12＝2π.故该几何体的表面积S＝S1＋S2－S3＝38.
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
5.已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是( )
A．9π B．9
C．3π D．3
答案 C
解析 设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.
设圆锥的高为h，则h＝＝，
∴V圆锥＝πr2h＝3π.
6．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π
C．28π D．32π
答案 C
解析 该几何体的表面积由圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面圆的面积组成，其中，圆锥的底面半径为2，母线长为＝4，圆柱的底面半径为2，高为4，∴S表＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π.
7．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．
答案
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则上底面的面积为πr2＝π，所以r＝1，下底面的面积为πR2＝4π，所以R＝2，所以侧面积为π(R＋r)l＝6π，所以l＝2，h＝，所以V＝π(12＋22＋1×2)×＝.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．
答案 2π＋
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是由一个圆柱的和一个三棱锥构成的，其体积为V＝×π×22×2＋××2×2×2＝2π＋.
一、选择题
1．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D．∶2
答案 C
解析 设圆锥的底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.
∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
2．圆台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则圆台的体积是( )
A．18＋6 B．6＋2
C．24 D．18
答案 B
解析 V＝(S＋ ＋S′)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2，选B．
3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是( )
A． B．
C．π D．3π
答案 B
解析 易知圆锥的母线长l为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，∴r＝1，则高h＝＝.
∴V圆锥＝πr2·h＝π×＝.
4．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )
A．6π B．12π
C．18π D．24π
答案 B
解析 结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2,1，则该几何体的侧面积S＝π(2×4＋1×4)＝12π.
5．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A． B．
C． D．2π
答案 C
解析 如图所示，过点D作BC的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R＝AB＝1，高h1＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r＝DH＝1，高h2＝HC＝1，其体积V2＝πr2h2＝π×12×1＝.
故所求几何体的体积为V＝V1－V2＝2π－＝.
二、填空题
6．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．
答案 4 16
解析 圆柱的体积公式为V圆柱＝πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．
7．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆和圆心，那么这个几何体的体积为________．
答案
解析 由题意知，该几何体是底面半径为1，高为的圆锥，故V＝×12×＝.
8.如图，把底面半径为8 cm的圆锥，放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________，表面积等于________．
答案 20 cm 224π cm2
解析 设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的
圆的面积为S＝πl2.又圆锥的侧面积S1＝πRl＝8πl，根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，得πl2＝2.5×8πl，
∴l＝20(cm)．
∴圆锥的表面积为S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)．
三、解答题
9．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．
解 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面如图，则圆锥的母线长为＝2，
∴圆锥的侧面积为S＝πrl＝4π cm2.
(2)设圆柱的底面半径为r′，
则＝，
∴r′＝2－(cm)，
∴S圆柱侧＝4πx－πx2＝－π(x－3)2＋6π(cm2)，
∴当x＝3时，圆柱的侧面积最大，最大值为6π cm2.
10．已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．
解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则
r＝ cm，AD＝ cm，
l＝ ＝＝3(cm)．
故几何体的表面积为
S＝πrl＋πr2＋2πr·AD
＝π××3＋π×()2＋2π××
＝3π＋3π＋6π
＝(3＋3＋6)π(cm2)．
几何体的体积为
V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－πr2·AD
＝π×3×－×π×3×
＝2π(cm3)．
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