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5.4.3 正切函数的性质与图象
[A 基础达标]
1．当x∈(－，)时，函数y＝tan |x|的图象( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．无法确定
解析：选B.函数y＝tan |x|，x∈(－，)是偶函数，其图象关于y轴对称．故选B.
2．与函数y＝tan(2x－)的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝－
解析：选D.当x＝－时，2x－＝－，而－的正切值不存在，所以直线x＝－与函数的图象不相交．
3．函数y＝的值域是( )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
解析：选B.因为－＜x＜，
所以－1＜tan x＜1，
所以∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
4．函数y＝tan在一个周期内的图象是下图中的 ( )
解析：选A.由函数周期T＝＝2π，
排除选项B、D.
将x＝π代入函数解析式中，得
tan＝tan 0＝0，
故函数图象与x轴的一个交点为.
5．在(0，2π)内，使 tan x>1 成立的 x 的取值范围为( )
A.
B.
C.∩
D.∪
解析：选 D．因为 x∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使 tan x>1 成立的 x 的取值范围为∪.
6．函数y＝tan(＋6x)的定义域为________．
解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
答案：{x|x≠＋，k∈Z}
7．函数y＝tan(＋)，x∈(0，)的值域是________．
解析：因为0<x<，则<＋<，
所以1<tan(＋)<.
答案：(1，)
8．函数 f(x)＝tan的单调减区间为________．
解析：因为 f(x)＝tan＝－tan，所以原题即求函数 y＝tan的单调增区间．由 kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得 kπ－<x<kπ＋，k∈Z，即函数 f(x)＝tan 的单调减区间为，k∈Z.
答案：，k∈Z
9．求函数y＝tan 2x的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间．
解：设t＝2x，
(1)定义域：y＝tan 2x＝tan t，要使函数y＝tan t有意义，必须且只需t≠kπ＋，k∈Z，
即2x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z.
所以函数y＝tan 2x的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
(2)值域：由t≠kπ＋，k∈Z知y＝tan t的值域为(－∞，＋∞)，
即y＝tan 2x的值域为(－∞，＋∞)．
(3)周期：(定义法)由tan 2(x＋)＝tan(2x＋π)＝tan 2x，所以y＝tan 2x的周期为.
(公式法)正切函数y＝tan 2x的周期T＝＝.
(4)奇偶性：定义域关于原点对称．令y＝f(x)＝tan 2x，则f(x)满足：f(－x)＝tan(－2x)＝－tan 2x＝－f(x)，所以y＝tan 2x为奇函数．
(5)单调区间：y＝tan t的单调递增区间为(kπ－，kπ＋)，k∈Z，
所以y＝tan 2x的单调递增区间为(－，＋)，k∈Z.
10．比较下列两个正切值的大小：
(1)tan 167°，tan 173°；
(2)tan，tan.
解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y＝tan x在(90°，180°)上为增函数，
所以tan 167°<tan 173°.
(2)因为tan＝tan，
tan＝tan，
且0<<<，y＝tan x在上为增函数，
所以tan<tan，
即tan<tan.
[B 能力提升]
11．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则 ( )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0
C．ω≥1 D．ω≤－1
解析：选B.因为y＝tan ωx在内是减函数，
所以ω＜0且T＝≥π.
所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
12．函数y＝tan满足下列哪些条件________(填序号)．
①在上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为.
解析：令x∈，
则∈，
所以y＝tan在上单调递增正确；
tan＝－tan，故y＝tan为奇函数；
T＝＝2π，所以③不正确；
由≠＋kπ，k∈Z，得x≠π＋2kπ，k∈Z，
所以④不正确．
答案：①②
13．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．
解：因为y＝|tan x|＋tan x
＝
所以画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，
如图所示：
则该函数的定义域是
，
值域是[0，＋∞)，
单调递增区间是[kπ，kπ＋)，k∈Z，
最小正周期是π.
14．设函数 f(x)＝tan.
(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间．
(2)求不等式 f(x)≤ 的解集．
解：(1)根据函数 f(x)＝tan，可得－≠kπ＋，k∈Z，得 x≠2kπ＋，k∈Z.
故函数的定义域为
.
它的最小正周期为＝2π.
令 kπ－<－<kπ＋，k∈Z，
得 2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.
故函数的增区间为
，k∈Z.
(2)求不等式 f(x)≤ ，
即 tan≤ ，
所以 kπ－<－≤kπ＋，k∈Z，
求得 2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，
故不等式的解集为
，k∈Z.
[C 拓展探究]
15．设函数y＝10tan[(2k－1)·]，k∈N*.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值．
解：由题意可得，当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T满足T≤，即≤，
求得k≥，故k的最小正整数值为17.
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