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课时跟踪检测（四十五） 函数y=Asin(ωx+φ)
A级——学考水平达标练
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D.当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C，故选A.
2．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x
C．y＝1＋sin D．y＝cos 2x－1
解析：选B 将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin，即y＝sin＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x.
3．如图所示的图象的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
解析：选D 由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求．
4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
解析：选D y＝sin图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，y＝－cos 2x是偶函数.
5．要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选C 因为f(x)＝cos＝sin＝sin＝sin，所以要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)＝sin的图象向左平移个单位长度即可．
6．将函数y＝sin x的图象的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．
解析：y＝sin xy＝3siny＝3sin＝3sin.
答案：y＝3sin
7．将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0＜φ＜π)的图象，则φ的值为________．
解析：将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin，所以φ的值为.
答案：
8.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.
解析：由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(0)＝sin φ＝sin＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图象向左平移个单位长度后，关于y轴对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)说明其图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
解：(1)将函数f(x)＝3sin(2x＋φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝3sin＝3sin.
因为图象平移后关于y轴对称，
所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为φ∈，所以φ＝.
所以f(x)＝3sin.
(2)将函数y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝sin，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图象，再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin的图象．
10．设ω＞0，若函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．
解：将y＝sin＋2的图象向右平移个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin＋2＝sin＋2.
因为平移后的图象与原图象重合，
所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝(k∈Z)，
又因为ω＞0，所以k≥1，
故ω＝≥.
故ω的最小值为.
B级——高考水平高分练
1．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．
解析：函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin(其中ω＞0)，将代入得sin＝0，所以＝kπ(k∈Z)，解得ω＝2k(k∈Z)，故得ω的最小值是2.
答案：2
2．某同学给出了以下结论：
①将y＝sin x的图象向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图象；
②将y＝sin x的图象向右平移2个单位长度，得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图象．
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
解析：将y＝sin x的图象向右平移π个单位长度所得图象的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以①正确；
将y＝sin x的图象向右平移2个单位长度得到图象的解析式为y＝sin(x－2)，所以②不正确；
将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位长度所得图象的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以③正确．
答案：①③
3.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．
解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.
将点(－1,0)代入，得0＝2sin.
∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，
∴g(x)＝2sin＝2sin，
∴g(x)的最小正周期为＝8.
4．已知函数f(x)＝2sin＋1(ω＞0,0＜φ＜π)
为偶函数，且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cos ωx＋1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos 2x＋1，
∴f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图象，
所以g(x)＝f＝2cos ＋1
＝2cos＋1.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
∴函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
5．设m为实常数，已知方程sin＝m在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.
(1)求m的取值范围；
(2)求α＋β的值．
解：作出函数y＝sin在区间(0,2π)上的图象如图所示．
(1)若方程sin＝m在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y＝sin的图象与y＝m有两个相异的交点．观察图象知，当－＜m＜且m≠1时有两个相异的交点，即方程sin＝m在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m的取值范围为(－，1)∪(1，)．
(2)当m∈(－，1)时，由图象易知两交点关于直线x＝对称，∴＝，α＋β＝.
当m∈(1，)时，由图象易知两交点关于直线x＝对称，
∴＝，α＋β＝，
故α＋β的值为或.
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