2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价六平面向量基本定理新人教A版必修2.doc

课时素养评价 六
平面向量基本定理

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2018·全国卷I)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
(　　)
A.- B.-
C.+ D.+
【解析】选A.如图所示：

=-=-
=-·(+)
=-.
2.(2019·日照高一检测)如图，向量a-b等于 (　　)

A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
【解析】选C.不妨令a=，b=，则a-b=-=，由平行四边形法则可知=e1-3e2.
3.若G是△ABC的重心，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则++等于
(　　)
A.6 B.-6
C.-6 D.0
【解析】选D.令=a，=b，则=-
=-=-(a+b).=-=-=-=-b+a，=-
=-=-=-a+b，
所以++=-a-b-b+a-a+b=0.
4.已知非零向量，不共线，且2=x+y，若=λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是 (　　)
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
【解析】选A.由=λ，得-=λ(-)，即=(1+λ)-λ.又2=x+y，所以消去λ得x+y=2，即x+y-2=0.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有=+λ，则λ=________. 
【解析】因为A，B，D三点共线，
所以存在实数t，使=t，
则-=t(-).
所以=+t(-)=(1-t)+t.
所以解得λ=-.
答案：-
6.如图，在平面内有三个向量，，，||=||=1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，||=5，设=m+n(m，n∈R)，则m+n=________.　 

【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，

则∠COQ=∠OCP=90°，
在Rt△QOC中，2OQ=QC，||=5.
则||=5，||=10，所以||=10，
又||=||=1，
所以=10，=5，
所以=+=10+5，
所以m+n=10+5=15.
答案：15
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且=，=，=，若=a，=b，试用a，b将，，表示出来.

【解析】=-=-
=a-b，
=-=--
=-b-(a-b)=-a+b.
=-=-(+)=(a+b).
8.(14分)若向量a，b不共线，则c=2a-b，d=3a-2b，试判断c，d能否作为基底.
【解析】设存在实数λ，使c=λd，则2a-b=λ(3a-2b)，即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.
由于向量a，b不共线，所以2-3λ=2λ-1=0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)(多选题)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是 (　　)
A.=+ B.=-
C.=+ D.=+
【解析】选A、B、C.由向量减法的三角形法则知，=-，B正确；由向量加法的平行四边形法则知，=+，==+，A、C正确；只有D错误.
2.(4分)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若=x+(1-x)，则x的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
【解析】选D.依题意，设=λ，其中1<λ<，则有=+=+λ
=+λ(-)=(1-λ)+λ.
又=x+(1-x)，且，不共线，
于是有x=1-λ∈，
即x的取值范围是.
3.(4分)已知e1，e2不共线，a=e1+2e2，b=2e1+λe2，要使a，b能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为________.  
【解析】若能作为平面内的一个基底，
则a与b不共线.
a=e1+2e2，b=2e1+λe2，由a≠kb即得λ≠4.
答案：(-∞，4)∪(4，+∞)
4.(4分)l1、l2是不共线向量，且a=-l1+3l2，b=4l1+2l2，c=-3l1+12l2，若b，c为一个基底，则a=________. 
【解析】设a=λ1b+λ2c，即-l1+3l2=λ1(4l1+2l2)+λ2(-3l1+12l2)，即-l1+3l2=
(4λ1-3λ2)l1+(2λ1+12λ2)l2.所以解得λ1=-，λ2=.
答案：-b+c
5.(14分)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，求·.
【解析】如图所示，·
=(-)·(-)
=·

=·
=·--
=×(2)2×cos 60°-×(2)2-
×(2)2=-2.

1.若已知e1、e2是平面上的一个基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是
(　　)

A.e1与-e2 B.3e1与2e2
C.e1+e2与e1-e2 D.e1与2e1
【解析】选D.e1与2e1是共线向量，不能作为一个基底，其余三组可以.
2.如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值.

【解析】设=e1，=e2，
则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使=λ=-λe1-3λe2，
=μ=2μe1+μe2，
所以=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=+=2e1+3e2，
所以解得
所以=，即AP∶PM=4∶1.

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