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课时素养评价 二
集合的表示
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 ( )
A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5}
C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5}
【解析】选D.根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或5,用列举法表示可得{-1,5}.
2.(多选题)方程组的解集可表示为 ( )
A.
B.
C.(1,2)
D.{(1,2)}
【解析】选A、B、D.方程组只有一个解,解为所以方程组的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以A、B、D都符合题意.
【加练·固】下列集合的表示,正确的是 ( )
A.{2,3}≠{3,2}
B.{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}
C.{x|x>1}={y|y>1}
D.{(1,2)}={(2,1)}
【解析】选C.{2,3}={3,2},故A不正确;{(x,y)|x+y=1}中的元素为点(x,y), {y|x+y=1}中的元素为实数y,{(x,y)|x+y=1}≠{y|x+y=1},故B不正确;{(1,2)}中的元素为点(1,2),而{(2,1)}中的元素为点(2,1),{(1,2)}≠{(2,1)},故D不正确.
3.设集合A={(x,y)|x+y=6,x∈N*,y∈N*},试问下列有序数对中,是集合A的元素的为 ( )
A.(1,5),(3,3),(2,4)
B.(-1,7),(1,5),(4,2)
C.(0,6),(5,1),(3,3)
D.(8,-2),(4,2),(3,3)
【解析】选A.由题意,因为x∈N*,y∈N*,所以选项B中的(-1,7)不符合题意,选项C中的(0,6)不符合题意,选项D中的(8,-2)不符合题意.
4.下列说法中正确的是 ( )
①0与{0}表示同一个集合;
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
③方程x2(x+1)=0的所有解的集合可表示为{0,0,-1};
④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.
A.只有①和④ B.只有②和③
C.只有② D.只有②和④
【解析】选C.①中“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合,故①错误.根据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合的互异性可知③错误;④不能用列举法表示,原因是集合中有无数个元素,不能一一列举.
【误区警示】解本题时注意集合与元素的区别,集合中元素的互异性和无序性,列举法与描述法表示一个集合的区别.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.小于3.14的自然数集可表示为________,小于3.14的有理数集可表示为________.
【解析】小于3.14的自然数集可表示为{0,1,2,3},小于3.14的有理数集可表示为{x∈Q|x<3.14}.
答案:{0,1,2,3} {x∈Q|x<3.14}
6.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.
【解析】因为1∉A,所以2+a≤0,所以a≤-2.
答案:{a|a≤-2}
三、解答题(共26分)
7.(12分)用适当的方法表示下列集合:
(1)不小于1 且不大于17的质数组成的集合A.
(2)平面直角坐标系中,抛物线y=x2上的点组成的集合C.
(3)所有被4除余1的整数组成的集合E.
【解析】(1)不小于1且不大于17的质数组成的
集合A={2,3,5,7,11,13,17}.
(2)平面直角坐标系中,抛物线y=x2上的点组成的集合C={(x,y)|y=x2}.
(3)所有被4除余1的整数组成的集合
E={x|x=4k+1,k∈Z}.
8.(14分)用描述法表示下列集合:
(1){0,2,4,6,8}.
(2){3,9,27,81,…}.
(3).
(4)到两坐标轴距离相等的点.
【解析】(1){x∈N|0≤x<10,且x是偶数}.
(2){x|x=3n,n∈N*}.
(3).
(4){(x,y)|x±y=0}.
【加练·固】用描述法表示下列集合:
(1){3,6,9,12,…}.
(2).
(3)数轴上与原点的距离小于或等于2的点的集合.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的集合.
【解析】(1)表示的都是被3整除的正整数.表示为{x|x=3n,n∈N*}.
(2)先统一形式,,,,,…找出规律,集合表示为.
(3)数轴上的点与实数对应,集合为{x||x|≤2}.
(4)平面直角坐标系中第一、三象限内的点的特点是横坐标与纵坐标正负相同,即乘积大于零.所以集合表示为{(x,y)|xy>0}.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知P={x|2<x≤k,x∈N},若集合P中恰有4个元素,则 ( )
A.6<k<7 B.6≤k<7
C.5<k<6 D.5≤k<6
【解析】选B.P={x|2<x≤k,x∈N},若集合P中恰有4个元素,则P={3,4,5,6},故6≤k<7.
2.(4分)集合A={1,-3,5,-7,9,-11,…},用描述法表示正确的是 ( )
①{x|x=2n±1,n∈N};
②{x|x=(-1)n(2n-1),n∈N};
③{x|x=(-1)n(2n+1),n∈N}.
A.③ B.①③ C.②③ D.①②③
【解析】选A.取n=0,1,2验证各表达式,可知①②不符合,③正确.
3.(4分)用列举法表示集合A=∈Zx∈N=________.
【解题指南】根据x∈N,且∈Z,让x从0取值,看是否满足∈Z,这样找出A的所有元素即可.
【解析】根据x∈N,且∈Z可得:
x=0时,=-3;x=1时,=-6;
x=3时,=6;x=4时,=3;
x=5时,=2;x=8时,=1;
所以A={-3,-6,6,3,2,1}.
答案:{-3,-6,6,3,2,1}
4.(4分)若集合A={x|ax+1=0,x∈R}不含有任何元素,则实数a=________.
【解析】由题意得,关于x的方程ax+1=0没有实数根,(1)当a=0时,原方程可化为1=0,没有实数根,符合题意;
(2)当a≠0时,x=-,不符合题意.
综上,a=0.
答案:0
【加练·固】已知集合{b}={x∈R|ax2-4x+1=0,a,b∈R},则a+b= ( )
A. 0或1 B.
C. D.或
【解析】选D.因为集合{b}为单元素集,所以集合{x∈R|ax2-4x+1=0,a,b∈R}也只有一个元素b,
所以方程ax2-4x+1=0只有一个解,
①当a=0时,方程只有一个解x=,
即b=,满足题意,此时a+b=0+=;
②当a≠0时,则Δ=42-4a=0,解得a=4,
方程只有一个解x=,满足题意,此时
a+b=4+=.
综上所述,a+b=或.
5.(14分)用适当的方法表示下列对象构成的集合:
(1)绝对值不大于2的所有整数.
(2)方程组的解.
(3)函数y=图象上的所有点.
【解析】(1)因为|x|≤2,且x∈Z,所以x的值为-2,-1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{-2,-1,0,1,2}.
(2)解方程组得
故用列举法表示方程组的解为{(0,1)}.
(3)函数y=图象上的点可以用坐标(x,y)表示,其满足的条件是y=,所以用描述法表示为.
1.两边长分别为3,5的三角形中,第三条边可取的整数的集合用列举法表示为________,用描述法表示为________.
【解析】设三角形第三边长度为x,根据三角形三边长度的关系得:x>5-3,x>2; x<5+3,x<8,所以x的取值范围为:2<x<8.又由第三条边长是整数,故第三条边可取的整数的集合用列举法表示为{3,4,5,6,7},
用描述法表示为{x|2<x<8,x∈N}.
答案:{3,4,5,6,7} {x|2<x<8,x∈N}
【加练·固】集合{x|x为一条边长为2,一个内角为30°的等腰三角形}中元素的个数为________.
【解析】当2为底边时,30°角可以是顶角或底角,有两种情形;当2为腰长时,
30°角也可以是顶角或底角,也有两种情形,故集合中有4个元素.
答案:4
2.已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z}.
求证:(1)3∈A.
(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.
【证明】(1)因为3=22-12,所以3∈A.
(2)设4k-2∈A,则存在m∈Z,n∈Z,使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)成立,
①当m,n同奇或同偶时, m-n,m+n均为偶数,
所以(m+n)(m-n)为4的倍数,与4k-2不是4的倍数矛盾.
②当m,n一奇,一偶时,m-n,m+n均为奇数,
所以(m+n)(m-n)为奇数,与4k-2是偶数矛盾.
综上4k-2∉A.
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