资源描述
课时作业29 平面
知识点一 平面的概念及表示
1.下列关于平面的命题中正确的是( )
①平静的太平洋面就是一个平面；
②9个平面重叠起来比7个平面重叠起来厚；
③四边形确定一个平面；
④平面可以看成空间中点的集合，它是一个无限集．
A．① B．④ C．②③ D．①④
答案 B
解析 对于①，平面是抽象的，且是无限延展的，故①错误；对于②，平面是无大小、无厚薄之分的，故②错误；对于③，空间四边形不能确定一个平面，故③错误；对于④，平面是空间中点的集合，是无限集，故④正确．
2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中2条直线的平面共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0或无数多个
答案 C
解析 直线a，b确定一个平面，直线b，c确定一个平面，直线a，c确定一个平面，共3个平面，故选C.
知识点二 平面的基本事实
3.下列命题正确的是( )
A．一条直线和一点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．三条平行直线确定一个平面
答案 B
解析 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A不正确；B显然正确；C中四点不一定共面，故C不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．故选B.
4．给出下列说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤若点A在平面α外，则点A和平面α内的任意一条直线都不共面．
其中所有正确说法的序号是________．
答案 ③④
解析 ①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A和平面α内的任意一条直线都能确定一个平面.
知识点三 点共线问题
5．如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R.
求证：P，Q，R三点共线．
证明 ∵AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，
∴P，Q，R∈平面ABC，P，Q，R∈α.
∴点P，Q，R在两平面的交线上，即P，Q，R三点共线．
6．如图，不在同一平面内的两个三角形△ABC和△A1B1C1，AB与A1B1相交于P，BC与B1C1相交于Q，AC与A1C1相交于R，求证：P，Q，R三点共线．
证明 ∵AB∩A1B1＝P，∴P∈AB，P∈A1B1.
∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
又A1B1⊂平面A1B1C1，∴P∈平面A1B1C1.
∴P在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．
同理可证Q，R也都在平面ABC与平面A1B1C1的交线上．
根据基本事实3知两个平面的交线有且只有一条，故P，Q，R三点共线.
知识点四 线共点问题
7．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．
证明 因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点．
如图，设AB∩CD＝M.
又AB⊂α，CD⊂β，
所以M∈α，且M∈β，
所以M∈α∩β.
又α∩β＝l，所以M∈l，
即AB，CD，l共点．
8．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．
证明 如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，
∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，
则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，
∴P∈α∩γ＝l3，
∴l1，l2，l3相交于一点P.
知识点五 共面问题
9.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
答案 D
解析 在A图中：分别连接PS，QR，则PS∥QR，
∴P，Q，R，S共面．
在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．
在C图中：分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，
∴P，Q，R，S共面．
在D图中：任意两点的连线既不平行也不相交，
∴P，Q，R，S四点不共面．故选D.
一、选择题
1．用符号表示“点A在直线l上，在平面α外”为( )
A．A∈l，A∉α B．A∈l，A⊄α
C．A⊂l，A⊄α D．A⊂l，A∉α
答案 A
解析 “点A在直线l上”用“A∈l”表示，“点A在平面α外”用“A∉α”表示．故选A.
2．下列说法中正确的是( )
A．空间中不同的三点确定一个平面
B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间中有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一个平面内
答案 D
解析 A错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个．B错误，空间两两相交的三条直线交于同一点时，可以确定一个或三个平面．C错误，空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形，如图，空间四边形ABCD1.
D正确，如图，因为a∥b，所以直线a，b确定一个平面α，因为b∥c，所以直线b，c确定一个平面β，
再说明l⊂α，l⊂β，由“过两条相交直线有且只有一个平面”推出α与β重合，推出a，b，c，l共面．故选D.
3．三个平面可将空间最多分成________部分( )
A．4 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 当三个平面两两相交且交线交于一点时，三个平面将空间分成的部分最多，此时将空间分成8部分．故选D.
4．如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝( )
A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．以上均不正确
答案 C
解析 由题意知，∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l，
∴R∈l，l⊂β，R∈AB，∴R∈β.又A，B，C三点确定的平面为γ，
∴C∈γ，AB⊂γ，∴R∈γ.又C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共点，∴β∩γ＝CR.
5．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 如图，用列举法知符合要求的棱为：BC，CD，C1D1，BB1，AA1，故选C.
二、填空题
6．过同一点的4条直线中，任意3条都不在同一平面内，则这4条直线确定平面的个数为________．
答案 6
解析 设四条直线为a，b，c，d，则这四条直线中每两条都确定一个平面，即a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d分别确定一个平面，共6个平面．
7．给出以下说法：
①共面的四点中，任意三点不共线；
②和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；
③三条两两相交的直线在同一平面内；
④有三个不同公共点的两个平面重合；
⑤依次首尾相接的四条线段不一定共面．
其中正确的个数是________．
答案 1
解析 易知⑤正确；①错误，任意三点可能共线；②错误，因为在空间中，这两条直线可能不在同一平面内；③错误，如正方体中，具有同一顶点的三条棱不在同一平面内．④错误，三个不同的公共点可在两平面的交线上．所以正确命题的个数为1.
8．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是________．
①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；
②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；
③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；
④A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合．
答案 ①②④
解析 ③应写成A∈α，A∈β⇒A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A，故α∩β＝A的写法错误．①②④显然正确．
三、解答题
9．如图，空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝.
求证：三条直线EF，GH，AC交于一点．
证明 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH綊BD，∵＝＝，
∴GF∥BD，GF＝BD，
∴EH∥GF且EH≠GF，
∴四边形EFGH为梯形，
∴两腰EF，GH所在的直线交于一点P.
∵EF⊂面ABC，∴P∈面ABC，同理P∈面ADC，
∴P在面ADC和面ABC的交线AC上，
∴三条直线EF，GH，AC交于一点．
10．如图，在底面是平行四边形的四棱锥S－ABCD中，O为AC，BD的交点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心．求证：S，P，O，Q四点共面．
证明 如图，连接SP，SQ，并分别延长交AD，BC于点M，N，连接MN.
因为P，Q分别为△SAD，△SBC的重心，
所以M，N分别为AD，BC的中点，所以O∈MN.
由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN，
所以MN⊂平面SMN，所以O∈平面SMN.
又P∈SM，Q∈SN，SM⊂平面SMN，SN⊂平面SMN，
所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN，
所以S，P，O，Q四点共面．
- 8 -
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
