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课时素养评价
六 命题与量词
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的得2分，有选错的得0分)
1.下列命题是假命题的是 ( )
A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等
B.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形
C.直角坐标系中，点(a，b)关于原点成中心对称的点的坐标为(-b，-a)
D.有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形
【解析】选C.A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，是真命题，故此选项不符合题意；
B.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故此选项不符合题意；C.直角坐标系中，点(a，b)关于原点成中心对称的点的坐标为(-a，-b)，故是假命题，故此选项符合题意；D.有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形，是真命题，故此选项不符合题意.
2.(多选题)下列命题中是真命题的是 ( )
A.∀x∈R，2x2-3x+4>0
B.∀x∈{1，-1，0}，2x+1>0
C.∃x∈N，使≤x
D.∃x∈N*，使x为29的约数
【解析】选A、C、D.对于A，这是全称量词命题，由于Δ=(-3)2-4×2×4<0，
所以2x2-3x+4>0恒成立，故A为真命题；
对于B，这是全称量词命题，由于当x=-1时，2x+1>0不成立，故B为假命题；
对于C，这是存在量词命题，当x=0时，有≤x成立，故C为真命题；
对于D，这是存在量词命题，当x=1时，x为29的约数成立，所以D为真命题.
3.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是 ( )
A.∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
B.∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
C.∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2
D.∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.A、B不是全称量词命题，故排除；
等式a2+b2+2ab=(a+b)2对全体实数都成立.
4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
【解析】选B.选项A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；
选项B中x=0时，x2=0，所以B既是存在量词命题又是真命题；
选项C中因为+(-)=0，所以C是假命题；
选项D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.下列命题：①偶数都可以被2整除；②任何一个实数乘以0都等于0；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填上所有满足要求的序号).
【解析】①是全称量词命题；②是全称量词命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题；④是存在量词命题；⑤是存在量词命题.
答案：①② ③④⑤
6.下列全称量词命题中是真命题的为________.(填序号)
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2+b2≥2ab；
③角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
④∀x∈R，y∈R，都有x2+|y|>0.
【解析】①②③为真命题；当x=y=0时，x2+|y|=0，④为假命题.
答案：①②③
三、解答题
7.(16分)指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假.
(1)存在一个实数，使等式x2+x+8=0成立.
(2)每个二次函数的图象都与x轴相交.
(3)∃x∈R，<0.
(4)存在实数x，=-x.
【解析】(1)存在量词命题.
因为x2+x+8=+>0，
所以该命题为假命题.
(2)全称量词命题，如函数y=x2+1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题.
(3)存在量词命题.非负数有算术平方根，且仍为非负数，所以该命题为假命题.
(4)存在量词命题.当x≤0时，=-x，所以该命题为真命题.
(15分钟·30分)
1.(4分)设非空集合P，Q满足，P∩Q=Q且P≠Q，则下列命题是假命题的
是 ( )
A.∀x∈Q，有x∈P B.∃x∈P，有x∉Q
C.∃x∉Q，有x∈P D.∀x∉Q，有x∉P
【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q，
所以QP，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有元素集合Q中是没有的，所以A，B，C正确，D错误.
2.(4分)已知∀x∈[0，2]，m>x，∃x∈[0，2]，n>x，那么m，n的取值范围分别是 ( )
A.m∈(0，+∞)，n∈(0，+∞)
B.m∈(0，+∞)，n∈(2，+∞)
C.m∈(2，+∞)，n∈(0，+∞)
D.m∈(2，+∞)，n∈(2，+∞)
【解析】选C.由∀x∈[0，2]，m>x，可得m>2；由∃x∈[0，2]，n>x，可得n>0.
3.(4分)下列命题中是真命题的为________.(填序号)
①菱形的每一条对角线平分一组对角.
②∀x1，x2∈R，且x1<x2，都有<.
③∀x∈Z，x2的个位数不是2.
④方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.
【解析】①真命题.由菱形的性质可知，该命题是真命题.
②假命题.如-2<-1，但是(-2)2>(-1)2.
③真命题.∀x∈Z，x2的个位数有可能是0，1，4，5，6，9.
④真命题.当x，y∈Z时，左边是偶数，右边3是奇数，不可能相等.
答案：①③④
4.(4分)已知命题p：“∃x∈R，(a-3)x+1=0”是真命题，则实数a的取值集合是________ .
【解析】因为“∃x∈R，(a-3)x+1=0”是真命题，所以关于x的方程(a-3)x+1=0有实数解，
所以a-3≠0，即a≠3，
所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}.
答案：{a∈R|a≠3}
5.(14分)若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围.
【解析】若x>0，由|x|>ax得a<=1，
若x<0，由|x|>ax得a>=-1，
若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，
则实数a的取值范围是(-1，1).
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