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第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
[A 基础达标]
1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角△ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥．故选D.
2．如图所示的组合体的结构特征是( )
A．一个棱柱中截去一个棱柱
B．一个棱柱中截去一个圆柱
C．一个棱柱中截去一个棱锥
D．一个棱柱中截去一个棱台
解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．
3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是 ( )
A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．
4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是( )
A．圆锥
B．圆锥和球组成的简单组合体
C．球
D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体
答案：D
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )
A．①② B．①③
C．④ D．①⑤
解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．
6．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成．
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．
③由一个长方体挖去一个四棱台构成．
④由一个长方体与两个四棱台组合而成．
其中正确说法的序号是__________．
解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．
答案：①②
7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ .
由题意可知·2r·h＝r＝8，所以r2＝8，所以h＝2.
答案：2
8．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．
所以AB＝＝13(cm)．
答案：13
9．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．
解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.
在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)．
SA＝＝＝(cm)．
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．
所以圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为cm2.
[B 能力提升]
11．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
解析：选C.如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.所以选C.
12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，
所以该地球仪的半径R＝＝
4 cm.
答案：4
13．圆锥底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体，这个内接正方体的棱长为________cm.
解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为x cm，则AA1＝x cm，A1C1＝x cm.作SO⊥EF于点O，则SO＝ cm，OE＝1 cm.因为△EAA1∽△ESO，
所以＝，即＝.
所以x＝，即该内接正方体的棱长为 cm.
答案：
14．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得上底半径O1A＝2 cm，
下底半径OB＝5 cm，又因为腰长为12 cm，所以高AM＝＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[C 拓展探究]
15.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)
解：因为△ABC为等边三角形，
所以BC＝6，
所以l＝2π×3＝6π，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：
＝6π，
故n＝180°，则∠B′AC＝90°，
所以B′P＝＝3(m)，
所以小猫所经过的最短路程是3 m.
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