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课时素养评价
二十四 函数的奇偶性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多选题全部选对得4分，选对但不全对的2分，有选错的得0分)
1.已知f(x)=x3+2x，则f(a)+f(-a)的值是 ( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
【解析】选A.f(-x)=-x3-2x=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，则f(a)+f(-a)=0.
2.(多选题)对于定义在R上的任意奇函数f(x)都有 ( )
A.f(x)·f(-x)是奇函数
B.f(x)·f(-x)是偶函数
C.f(x)·f(-x)<0
D.f(x)·f(-x)≤0
【解析】选BD.因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)·f(-x)=-f2(x)≤0，且是偶函数.
3.奇函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-2，则f(6)+f(-3)的值为 ( )
A.10 B.-10 C.9 D.15
【解析】选A.根据题意，函数f(x)在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-2，则f(6)=8，f(3)=-2，
又由函数f(x)为奇函数，则f(-3)=-f(3)=2，则f(6)+f(-3)=10.
4.若函数f(x)=为奇函数，则a= ( )
A. B. C. D.1
【解题指南】利用奇函数的定义得到f(-1)=-f(1)，列出方程求出a.
【解析】选A.因为f(x)为奇函数，
所以f(-1)=-f(1)，
所以=-，
所以1+a=3(1-a)，解得a=.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调减区间为________.
【解析】作出函数f(x)的图像如图：
故单调减区间为[-5，-4]，[-1，0]，[1，4].
答案：[-5，-4]，[-1，0]，[1，4]
【加练·固】
已知函数f(x)=ax3+bx+2，且f(π)=1，则f(-π)=________.
【解析】根据题意，设g(x)=f(x)-2=ax3+bx，
则g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(ax3+bx)=-g(x)，
则g(x)为奇函数，则g(π)+g(-π)=[f(π)-2]+[f(-π)-2]=0，则有f(-π)=3.
答案：3
6.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)=________.
【解析】因为f(x)是奇函数，
所以f(-2)=-f(2)，f(-1)=-f(1).
又f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，
所以f(1)+f(2)=-3.
答案：-3
三、解答题(共26分)
7.(12分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=+.
(2)f(x)=.
(3)f(x)=
【解析】(1)由得x2=1，即x=±1.
因此函数的定义域为A={-1，1}.
因为f(1)=f(-1)=0，所以f(x)=0，
当x∈A时，-x∈A且f(-x)=0，f(x)=0，
即f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)函数f(x)的定义域是
A=(-∞，-1)∪(-1，+∞)，
当1∈A时，-1∉A，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为R，当x∈R时，-x∈R，
当x>0时，f(x)=x2+x，因为-x<0，
所以f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x
=-(x2+x)=-f(x)；
当x=0时，f(0)=02+0=0=-f(0)；
当x<0时，f(x)=-x2+x，因为-x>0，
所以f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).
所以对任意x∈R，都有f(-x)=-f(x)，
所以f(x)为奇函数.
8.(14分)已知函数f(x)为奇函数，f(x)=.
(1)求f(-3)的值.(2)求实数a的值.
【解析】(1)因为f(x)=，
则f(3)=0，
又由函数f(x)为奇函数，
则f(-3)=-f(3)=0，故f(-3)=0.
(2)由(1)的结论，
f(-3)==0，
解得：a=3.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知函数f(x)=g(x)+|x|，对任意的x∈R总有f(-x)=-f(x)，且g(-1)=1，则g(1)= ( )
A.-1 B.-3 C.3 D.1
【解析】选B.根据题意，函数f(x)=g(x)+|x|，对任意的x∈R总有f(-x)=-f(x)，
则有f(-1)=-f(1)，即f(-1)+f(1)=0，
则有g(-1)+|-1|+g(1)+|1|=0，
又由g(-1)=1，则g(1)=-3.
2.(4分)函数f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函数，且其定义域为[3a-4，a]，
则f(a)= ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选B.因为奇函数的定义域为[3a-4，a]，
所以3a-4+a=0，得4a=4，a=1，
则f(x)=x3+2bx+1-b，
又f(0)=0，得f(0)=1-b=0，则b=1，
即f(x)=x3+2x，则f(a)=f(1)=1+2=3.
3.(4分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x-c，则c=________，f(-2)=________.
【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)=2x-c，所以f(0)=1-c=0，
所以c=1，
又当x≥0时，f(x)=2x-1，所以f(2)=3，
又由函数f(x)为奇函数，则f(-2)=-f(2)=-3.
答案：1 -3
4.(4分)若函数f(x)=是奇函数，则实数m=________.
【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即=-，
所以-x-2m+1=-x+2m-1，
所以-2m+1=2m-1，所以m=.
答案：
5.(14分)已知奇函数f(x)=
(1)求实数m的值，并画出y=f(x)的图像.
(2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，试确定a的取值范围.
【解析】(1)当x<0时，-x>0，
f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x，
所以f(x)=x2+2x，所以m=2.y=f(x)的图像如图所示.
(2)由(1)知f(x)=
由图像可知，f(x)在[-1，1]上单调递增，要使f(x)在[-1，a-2]上单调递增，只需解得1<a≤3.
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 ( )
A.y=-x2+5 B.y=-x
C.y=x3 D.y=-(x≠0)
【解析】选C.A中函数为偶函数；B中的函数为减函数；C中函数符合题意；D中函数为奇函数，在区间(-∞，0)，(0，+∞)上为增函数，在定义域上不具有单调性.
2.已知函数f(x)=x2+ (x≠0).
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
(2)若f(1)=2，试判断f(x)在[2，+∞)上的单调性.
【解析】(1)当a=0时，f(x)=x2，f(-x)=f(x)，函数f(x)是偶函数.当a≠0时，f(x)=x2+ (x≠0，常数a∈R)，取x=±1，得f(-1)+f(1)=2≠0；f(-1)-f(1)
=-2a≠0，
所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1).
所以当a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)若f(1)=2，即1+a=2，解得a=1，
这时f(x)=x2+.任取x1，x2∈[2， +∞)，且x1<x2，
则f(x2)-f(x1)=-
=(x2+x1)(x2-x1)+=(x2-x1)
所以=x2+x1-，
由于x1≥2，x2≥2，且x1<x2，
所以x1+x2>，
所以>0，故f(x)在[2，+∞)上是单调递增函数.
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