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课时素养评价 九
平面向量数量积的坐标表示
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)设向量a=(1，0)，b=，则下列结论中错误的是 ( )
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a∥b D.a-b与b垂直
【解析】选A、B、C.因为|a|=1，|b|=，所以|a|≠|b|.又a·b=1×+0×=≠；易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确.因为a-b=，且(a-b)·
b=×+×=0，所以(a-b)⊥b.
2.已知向量a=(0，-2)，b=(1，)，则向量a在b方向上的投影为
( )
A. B.3 C.- D.-3
【解析】选D.向量a在b方向上的投影为==-3.
3.(2019·邢台高一检测)已知a=(2，-3)，b=(1，-2)，且c⊥a，b·c=1，则c的坐标为 ( )
A.(3，-2) B.(3，2)
C.(-3，-2) D.(-3，2)
【解析】选C.采用验证的方法知，c=(-3，-2)满足c·a=-6+6=0，所以c⊥a，b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.
4.已知a=(1，2)，b=(x，4)且a·b=10，则|a-b|= ( )
A.-10 B.10 C.- D.
【解析】选D.因为a·b=10，所以x+8=10，x=2，所以a-b=(-1，-2)，故|a-b|=.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(-1，-1)，则|b|=________，cos θ=________.
【解析】b=a+(-1，-1)=(1，1)，
则a·b=6.又|a|=3，|b|=，
所以cos θ===1.
答案： 1
6.已知a，b是同一平面内的两个向量，其中a=(1，2).若|b|=2，且b∥a，则b的坐标为________.
【解析】设b=(x，y)，因为|b|=2，
所以=2，
所以x2+y2=20.由b∥a和|b|=2，
可得解得或
故b=(2，4)或b=(-2，-4).
答案：(2，4)或(-2，-4)
【加练·固】
已知=(-3，1)，=(0，5)，且∥，⊥(O为坐标原点)，则点C的坐标是________.
【解析】设C(x，y)，则=(x，y).
又=(-3，1)，所以=-=(x+3，y-1)，因为∥，所以5(x+3)
-0·(y-1)=0，所以x=-3.因为=(0，5)，所以=-=(x，y-5)，=-=(3，4).因为⊥，所以3x+4(y-5)=0，所以y=，所以C点的坐标是.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知向量a，b同向，b=(1，2)，a·b=20.
(1)求向量a的坐标.
(2)若c=(2，1)，求(b·c)·a.
【解析】(1)因为向量a，b同向，又b=(1，2)，
所以设a=λb=λ(1，2)=(λ，2λ)，λ>0.
由a·b=20得1×λ+2×2λ=20，所以λ=4，所以a=(4，8).
(2)因为b·c=(1，2)·(2，1)=1×2+2×1=4，
所以(b·c)·a=4(4，8)=(16，32).
8.(14分)已知a=(1，2)，b=(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角.
(2)a与b的夹角为钝角.
(3)a与b的夹角为锐角.
【解析】设a与b的夹角为θ，
则a·b=(1，2)·(1，λ)=1+2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ=0，
所以a·b=0，所以1+2λ=0，所以λ=-.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ<0且cos θ≠-1，
所以a·b<0且a与b不反向共线.
由a·b<0得1+2λ<0，故λ<-，
由a与b共线得λ=2，故a与b不可能反向共线，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向共线.
由a·b>0，得λ>-，由a与b共线得λ=2，
所以λ的取值范围为∪(2，+∞).
(15分钟·30分)
1.(4分)在平面直角坐标系xOy中，=(2，1)，=(3，k)，若△ABC是直角三角形，则k的可能值的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.由-==(-1，1-k)，若·=0，所以k=-6；若·=0，所以k=-1，若·=0，所以k2-k+3=0，由Δ<0知无解.
2.(4分)已知O为坐标原点，点A，B的坐标分别为(a，0)，(0，a)，其中a∈(0，+∞)，点P在AB上且=t(0≤t≤1)，则·的最大值为( )
A.a B.2a C.3a D.a2
【解析】选D.因为A(a，0)，B(0，a)，
所以=(a，0)，=(-a，a).
又因为=t，
所以=+=(a，0)+t(-a，a)
=(a-ta，ta)，
所以·=a(a-ta)=a2(1-t).
因为0≤t≤1，所以0≤1-t≤1，
即·的最大值为a2.
3.(4分)已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E满足=，点F为CD的中点，若·=-2，则·=________.
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
设C(t，0)，A(-t，0)，B(0，-1)，D(0，1)，
E，F，
=(t，1)，=，
=(-t，1)，=，
因为·=-2，所以-t2+=-2，
解得t2=5，·=-t2+=-7.
答案：-7
4.(4分)若向量a=(k，3)，b=(1，4)，c=(2，1)，已知2a-3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________.
【解析】因为2a-3b与c的夹角为钝角，
所以(2a-3b)·c<0，
即(2k-3，-6)·(2，1)<0，
所以4k-6-6<0，所以k<3.又若(2a-3b)∥c，
则2k-3=-12，即k=-.当k=-时，
2a-3b=(-12，-6)=-6c，
即2a-3b与c反向.
综上，k的取值范围为∪.
答案：∪
【加练·固】
已知向量a=(-2，-1)，b=(t，-2)，且a与b的夹角为锐角θ，则实数t的取值范围为________.
【解析】因为a与b的夹角为锐角θ，所以cos θ=>0，即：a·b=(-2，-1)·(t，-2)=-2t+2>0，所以t<1.若a∥b，可设：a=λb，
所以(-2，-1)=λ(t，-2)，
所以所以
此时b=2a，所成角为0°，故t=-4不合题意.所以t的取值范围是(-∞，-4)∪(-4，1).
答案：(-∞，-4)∪(-4，1)
5.(14分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=，n=(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值.
(2)若m与n的夹角为，求x的值.
【解析】(1)因为m=，
n=(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n=0，即sin x-cos x=0，
所以sin x=cos x，所以tan x=1.
(2)因为|m|=|n|=1，所以m·n=cos=，
即sin x-cos x=，
所以sin=，
因为0<x<，所以-<x-<，
所以x-=，即x=.
1.(2019·怀化模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||=1，则|++|的最大值是________.
【解析】设D(x，y)，由=(x-3，y)及||=1知=1，即动点D到点(3，0)的距离为1.又++=(-1，0)+(0，)+(x，y)=(x-1，y+)，所以|++|=.
问题转化为点D与点P(1，-)间距离的最大值.点D在以点(3，0)为圆心，半径为1的圆上.
因为圆心C(3，0)与点P(1，-)之间的距离为=，
故的最大值为+1.
答案：+1
2.设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b=(a1b1，a2b2)，已知向量m=，n=，点P(x，y)在y=sin x的图象上运动，Q是函数y=f(x)图象上的点，且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点)，求函数y=f(x)的值域.
【解析】设Q(c，d)，由新的运算可得：
=m⊗+n=+
=，
由
消去x得d=sin，
所以y=f(x)=sin，
故y=f(x)的值域是.
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