2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价七平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加减运算的坐标表示新人教A版必修2.doc

课时素养评价 七
平面向量的正交分解及坐标表示　平面向量加、减运算的坐标表示

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为 (　　)
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
【解析】选C.=-=(4，2)-(2，3)=(2，-1)，由向量坐标的定义知，=2i-j.
2.(多选题)下列各式不正确的是 (　　)
A.若a=(-2，4)，b=(3，4)，则a-b=(1，0)
B.若a=(5，2)，b=(2，4)，则b-a=(-3，2)
C.若a=(1，0)，b=(0，1)，则a+b=(0，1)
D.若a=(1，1)，b=(1，-2)，则a+b=(2，1)
【解析】选ACD.由向量加、减法的坐标运算可得.
3.(2019·沂水高一检测)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=(2，4)，=(1，3)，则= (　　)
A.(2，4) B.(3，5)
C.(1，1) D.(-1，-1)
【解析】选C.=-=-
=-(-)=(1，1).
4.已知A(7，2)，B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于C，且=，则实数a等于 (　　)
A.2 B.1 C. D.
【解析】选C.设C(m，n)，则=(m-7，n-2)，=(1-m，4-n)，又=，
所以解得m=4，n=3，所以C(4，3)，代入y=ax得3=2a，所以a=.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知2 020个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2 019个向量的和为________. 
【解析】其余2 019个向量的和为(0，0)-(8，15)=(-8，-15).
答案：(-8，-15)
6.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量-+的坐标为________. 
【解析】根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1).所以=(1，0)，=(0，1)，=(1，1).所以-+=(1，0)-(0，1)+(1，1)=(2，0).
答案：(2，0)
三、解答题(共26分)
7.(12分)在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标.

【解析】设a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，c=(c1，c2)，
则a1=|a|cos 45°=2×=，
a2=|a|sin 45°=2×=；
b1=|b|cos 120°=3×=-，
b2=|b|sin 120°=3×=；
c1=|c|cos(-30°)=4×=2，
c2=|c|sin(-30°)=4×=-2.
因此，a=(，)，b=，
c=.
8.(14分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若=+，求点P的坐标.
(2)若++=0，求的坐标.
【解析】(1)因为=(1，2)，=(2，1)，
所以=(1，2)+(2，1)=(3，3)，
即点P的坐标为(3，3).
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为++=0，
又++=(1-x，1-y)+(2-x，3-y)+(3-x，2-y)=(6-3x，6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故=(2，2).

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)已知A(3，2)，B(5，4)，C(6，7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为 (　　)
A.(4，5)
B.(4，5)或(8，9)
C.(4，5)或(2，-1)
D.(4，5)或(8，9)或(2，-1)
【解析】选D.设D点的坐标为D(x，y).
若是平行四边形ABCD，则有=，
可得(5-3，4-2)=(6-x，7-y)，
解得x=4，y=5.
故所求顶点D的坐标为D(4，5).
若是平行四边形ABDC，则有=，
可得(5-3，4-2)=(x-6，y-7)，
解得x=8，y=9.
故所求顶点D的坐标为D(8，9).
若是平行四边形ACBD，则有=，
可得(6-3，7-2)=(5-x，4-y)，
解得x=2，y=-1.
故所求顶点D的坐标为D(2，-1).
综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标是(4，5)或(8，9)或(2，-1).
2.(4分)在四边形ABCD中，==(1，0)，+=，则四边形ABCD的面积是 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.为在方向上的单位向量，记为e1=，类似地，设
=e2=，=e3=，所以e1+e2=e3，可知四边形BNGM为菱形，且||=||
=||，所以∠MBN=120°，从而四边形ABCD也为菱形，||=||=1，所以S▱ABCD=||·||·sin∠ABC=.
3.(4分)设点A，B，C，D的坐标依次为(-1，0)，(3，1)，(4，3)，(0，2)，则四边形ABCD的形状为________.  
【解析】如图所示，=(0，2)-(-1，0)=(1，2)，
=(4，3)-(3，1)=(1，2)，
=(3，1)-(-1，0)=(4，1).
所以=.又||=，||=，
所以||≠||，
所以四边形ABCD为平行四边形.

答案：平行四边形
4.(4分)已知向量i=(1，0)，j=(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a=(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a=(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a=(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a=(x，y).其中，正确结论有________个.  
【解析】由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a=(1，0)≠(1，3)，但1=1，故②错误；因为向量可以平移，所以a=(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a=(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误.
答案：1
5.(14分)以原点O及点A(2，-2)为顶点作一个等边△AOB，求点B的坐标及向量的坐标.

【解析】因为△AOB为等边三角形，
且A(2，-2)，

所以||=||=||=4.
因为在0～2π范围内，以Ox为始边，OA为终边的角为，当点B在OA的上方时，以OB为终边的角为，由三角函数的定义得：
==(2，2).
所以=-=(2，2)-(2，-2)
=(0，4).
当点B在OA的下方时，以OB为终边的角为，
由三角函数的定义得：=(0，-4)，所以=-=(0，-4)-(2，-2)=(-2，-2).
综上所述，点B的坐标为(2，2)，的坐标为(0，4)或点B的坐标为(0，-4)，
的坐标为(-2，-2).

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