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课时素养评价 一
平面向量的概念
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.(多选题)下列说法不正确的是 ( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【解析】选A，B，C.向量之间不能比较大小，但向量的模可以比较大小，向量的大小与方向无关.故只有选项D正确.
2.(2019·新泰高一检测)如图，在四边形ABCD中，=，则相等的向量是 ( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】选D.由=知四边形ABCD是平行四边形.
由平行四边形的性质知，||=||，且方向相同.
3.(2019·天水高一检测)四边形ABCD中，若∥，则四边形ABCD是
( )
A.平行四边形 B.梯形
C.菱形 D.平行四边形或梯形
【解析】选D.因为在四边形ABCD中，∥，且||与||的长短未知，所以四边形ABCD是平行四边形或梯形.
4.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
【解析】选C.因为=，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为||=||，所以四边形为菱形.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，则下列结论正确的是________.
①是单位向量； ②||=||；
③∥； ④∥.
【解析】由题图可知，显然与不平行，与不平行，所以③④不正确.又因为等腰三角形ABC的边长不确定，所以不能确定是否为单位向量，所以①不正确.依题意，知CD=BC，所以②正确.
答案：②
6.如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南________方向行走了________km.
【解析】由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南60°方向，行走了2 km.
答案：60° 2
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法.此图中，马可以从A处跳到A1处，用向量表示马走了“一步”，也可以跳到A2处，用向量表示.请在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况.
【解析】如图，马在B处只有3步可走，马在C处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大.
8.(14分)一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
(1)作出向量，，.
(2)求这辆汽车的位移大小.
【解析】(1)如图所示.
(2)由题意，易知与方向相反，故与平行.
又因为||=||，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形.
所以||=||=200 km，即这辆汽车位移的大小为200 km.
(15分钟·30分)
1.(4分)(2019·十堰高一检测)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，则以下说法错误的是 ( )
A.与相等的向量只有一个(不含)
B.与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
【解析】选D.与相等的向量只有；在菱形ABCD中，AC=AB=BC=CD=DA，每一条线段可得方向相反的两个向量，它们的模都相等，故有5×2-1=9(个)；计算得DO=DA，所以BD=DA，即||=||；由AD∥BC知与共线，故D错误.
2.(4分)已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为 ( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
3.(4分)已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m=________.
【解析】因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m=0.
答案：0
4.(4分)如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________.
【解析】根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
5.(14分)设在平面内给定一个四边形ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
求证：=.
【证明】如图所示，连接AC.
在△ABC中，由三角形中位线定理知，
EF=AC，EF∥AC，
同理HG=AC，HG∥AC.
所以||=||且和同向，
所以=.
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