2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十平面向量的坐标及其运算新人教B版必修2.doc

课时素养评价 三十
　平面向量的坐标及其运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=
(　　)
A.(2,4) B.(3,5)
C.(1,1) D.(-1,-1)
【解析】选C.=-=-=-(-)=(1,1).
2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b= (　　)
A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0)
【解析】选A.b=(3,2)-2a=(3,2)-(2,4)=(1,-2).
3.设a=,b=,且a∥b,则锐角α为 (　　)
A.30° B.60° C.45° D.75°
【解析】选A.因为a∥b,所以×-tan αcos α=0,即sin α=,α=30°.
4.已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为 (　　)
A.(1,8) B.(-1,8)
C.(3,2) D.(-3,2)
【解析】选B.设B的坐标为(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),所以解得
所以点B的坐标为(-1,8).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.平面上三点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC的中点,则向量的坐标为________. 
【解析】依题意知=(+)=(2,1)=,则=-=(2,-5)-
=.
答案:
【加练·固】
若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2=________. 
【解析】因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),
所以=(2,3),=(-3,3).
所以+2=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).
答案:(-4,9)
6.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为________. 
【解析】因为所求向量与向量a=(1,2)平行,所以可设所求向量为x(1,2),又因为其模为,所以x2+(2x)2=5,解得x=±1.
因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).
答案:(1,2)或(-1,-2)
三、解答题(共26分)
7.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).
设=a,=b,=c.
(1)求3a+b-3c.
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
【解析】由已知,得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
所以解得
8.(14分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且=3,=2,求点M,N及的坐标.
【解析】因为A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
所以=(1,8),=(6,3),
所以=3=(3,24),=2=(12,6).
设M(x,y),则有=(x+3,y+4),
所以所以所以M点的坐标为(0,20).
同理可求得N点坐标为(9,2),
因此=(9,-18),故所求点M,N的坐标分别为(0,20),(9,2),的坐标为(9,-18).
(15分钟·30分)
1.(4分)若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为 (　　)
A.1,2 B.2,2 C.3,2 D.2,4
【解析】选B.因为=(1,2),
=(3-x,4-y),
又∥,所以4-y-2×(3-x)=0,
即2x-y-2=0,代入检验知B合适.
2.(4分)在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于 (　　)
A.2 B. C.2 D.4
【解析】选A.因为|OC|=2,∠AOC=,
所以C(,),又=λ+μ,
所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),
所以λ=μ=,λ+μ=2.
3.(4分)已知M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则M∩N=________.  
【解析】由题意得(1,2)+λ(3,4)=(-2,-2)+μ(4,5),即(1+3λ,2+4λ)=(-2+
4μ,-2+5μ),
所以解得λ=-1,μ=0,
所以M∩N={(-2,-2)}.
答案:{(-2,-2)}
4.(4分)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,给出下列四个结论:

①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y);
②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2;
③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O;
④若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y).
其中,正确结论有________个. 
【解析】由平面向量基本定理,可知①正确;例如,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故②错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故③错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的始点是原点为前提的,故④错误.
答案:1
5.(14分)以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标.

【解析】因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),

所以||=||=||=4.
因为在0～2π范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得:==(2,2).
所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).
当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为,
由三角函数的定义得:=(0,-4),
所以=-=(0,-4)-(2,-2)
=(-2,-2).
综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).

1.在四边形ABCD中,==(1,0),+=,则四边形ABCD的面积是
(　　)

A. B. C. D.
【解析】选D.为在方向上的单位向量,记为e1=,类似地,设=e2 =,=e3=,所以e1+e2=e3,可知四边形BNGM为菱形,且||=||=||,所以∠MBN=120°,从而四边形ABCD也为菱形,||=||=1,所以S菱形ABCD =||·||·sin ∠ABC=.
2.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),
(1)若++=0,求的坐标.
(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图像上,求m-n.
【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2),故=(2,2).
(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因为=m+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得m-n=y0-x0,
又因为点P在函数y=x+1的图像上,
所以y0-x0=1,所以m-n=1.

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