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第1课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
[A 基础达标]
1．若函数 y＝sin 2x 的图象向左平移个单位得到 y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
解析：选 A．依题意得 f(x)＝sin ＝sin＝cos 2x.故选 A.
2．为了得到函数 y＝sin的图象，只需把函数 y＝sin的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选 D．将 y＝sin的图象向右平移个单位长度得到y＝sin＝sin的图象，故选D.
3．为了得到函数 y＝sin的图象，需将函数 y＝sin的图象( )
A．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
解析：选 C．只需将函数 y＝sin 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数 y＝sin的图象．
4．给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
②横坐标缩小到原来的，纵坐标不变；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度；
⑤向左平移个单位长度；
⑥向右平移个单位长度；
则由函数y＝sin x的图象得到y＝sin的图象，可以实施的方案是( )
A．①→③ B．②→③
C．②→④ D．②→⑤
解析：选D.y＝sin x的图象y＝sin 2x的图象y＝sin的图象．
5．为了得到函数 y＝2sin(x∈R)的图象，只需把函数 y＝2sin x(x∈R)的图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
解析：选 C．将 y＝2sin x 的图象向左平移个单位长度，可以得到 y＝2sin的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)可以得到y＝2sin的图象，故选 C.
6．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：伸长 3
7．利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝________，周期T＝________．
解析：由题知A＝，
T＝2＝π.
答案： π
8．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为______和______．
解析：依据图象变换可得函数g(x)＝sin.
因为x∈，
所以4x＋∈，
所以当4x＋＝时，g(x)取最大值；
当4x＋＝时，g(x)取最小值－.
答案： －
9．如何由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝sin(2x＋)的图象．
10．用“五点法”画函数y＝3sin，x∈的图象．
解：①列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y＝3sin
0
3
0
－3
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.
③连线：用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin，x∈的简图，如图所示．
[B 能力提升]
11．把函数 y＝cos 的图象适当变换就可以得到
y＝sin(－3x)的图象，这种变换可以是( )
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选 D．因为 y＝cos＝
cos＝sin
＝sin，所以将 y＝sin的图象向左平移个单位长度能得到 y＝sin (－3x)的图象．
12．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝________．
解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝f(x)＝sin的图象，
故f(x)＝sin，
所以f＝sin
＝sin＝.
答案：
13．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin x的图象相同，求f(x)的解析式．
14．已知f(x)＝2sin.
(1)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，请写出函数g(x)的解析式；
(2)请通过列表、描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数g(x)在[0，π]上的简图．
解：(1)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2sin
＝2sin的图象．
(2)列表如下：
x
0
π
2x－
－
0
π
sin
－
0
1
0
－1
－
g(x)
－1
0
2
0
－2
－1
描点、连线，得出所要求作的图象如下：
[C 拓展探究]
15．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω＞0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
解：(1)因为ω＞0，
根据题意有⇒0＜ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)＝2sin 2x可得，
g(x)＝2sin＋1
＝2sin＋1，
g(x)＝0⇒sin＝－⇒x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×＋15×＝.
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