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习题课（三） 统计与概率
一、选择题
1．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：选B E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件．
2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则从产品中任意抽查一件抽得正品的概率为( )
A．0.09 B．0.98
C．0.97 D．0.96
解析：选D 任意抽查一件抽得正品的概率为：
1－0.03－0.01＝0.96.
3．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数相同，则图中的m＋n＝( )
甲
乙
7
2
n
9 m
3
2 4 8
A.3 B．5
C．8 D．11
解析：选D 根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m＝3；甲的平均数甲＝×(27＋39＋33)＝33，乙的平均数是乙＝×(20＋n＋32＋34＋38)＝33，∴n＝8，∴m＋n＝11.故选D.
4．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－＝.选B.
5．某中学高中部有300名学生．为了研究学生的周平均学习时间，从中抽取了60名学生，先统计了他们某学期的周平均学习时间(单位：小时)，再将学生的周平均学习时间分成5组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]，并加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．则高中部学生的周平均学习时间为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )
A．63.5小时 B．62.5小时
C．63小时 D．60小时
解析：选A 在高中部抽取的60名学生中，周平均学习时间分别落在[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]的人数依次为6,15,24,12,3.
所以高中部学生的周平均学习时间为
(6×45＋15×55＋24×65＋12×75＋3×85)÷60＝63.5(小时)．故选A.
6．已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 若从甲袋中取出的球是红球，则从乙袋中取出红球的概率为P1＝×＝.若从甲袋中取出的球是黄球，则从乙袋中取出红球的概率为P2＝×＝，以上两个事件互斥，因此P＝P1＋P2＝.
二、填空题
7．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________，________.
解析：由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差不变，仍是4.4.
答案：81.2 4.4
8．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开始由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行)，根据下表，读出的第3个数是________．
18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05
26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71
解析：最先读到的数据的编号是389，向右读下一个数是775,775大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983，舍去，再下一个数是114.故读出的第3个数是114.
答案：114
9．有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是________．
解析：设事件A表示：“甲击中”，事件B表示：“乙击中”．由题意知A，B互相独立．故目标被击中的概率为P＝1－P(·)＝1－P()P()＝1－0.2×0.3＝0.94.
答案：0.94
三、解答题
10．为了了解小学生的体能情况，抽取某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1,0.3,0.4，且第一小组的频数为5.
(1)求第四小组的频率；
(2)求参加这次测试的学生的人数；
(3)若一分钟跳绳次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率．
解：(1)第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.
(2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，∴x＝50，故参加这次测试的学生有50人．
(3)由题意，样本的达标率约为0.3＋0.4＋0.2＝0.9，∴该年级学生跳绳测试的达标率约为90%.
11．甲、乙两位同学进行投篮比赛，每人玩5局，每局在指定线外投篮，若第一次不进，再投第二次，依此类推，但最多只能投6次．当投进时，该局结束，并记下投篮的次数．当6次投不进，该局也结束，记为“×”．第一次投进得6分，第二次投进得5分，第三次投进得4分，依此类推，第6次投不进，得0分．两人的投篮情况如下：
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
5次
×
4次
5次
1次
乙
×
2次
4次
2次
×
请通过计算，判断哪位同学投篮的水平高．
解：依题意，甲、乙的得分情况如下表：
第1局
第2局
第3局
第4局
第5局
甲
2
0
3
2
6
乙
0
5
3
5
0
甲＝×(2＋0＋3＋2＋6)＝2.6，
s甲＝
≈1.96，
乙＝×(0＋5＋3＋5＋0)＝2.6，
s乙＝
≈2.24，
因为甲得分的平均数为2.6，乙得分的平均数为2.6，
甲得分的标准差约为1.96，乙得分的标准差约为2.24，
所以甲得分的平均数与乙得分的平均数相等．
甲得分的标准差小于乙得分的标准差．
故甲投篮的水平高．
12．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50，
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372，
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
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