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课时跟踪检测（一） 集合的含义
A级——学考水平达标练
1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
解析：选A 由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.
2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是( )
A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A
解析：选D ∵3－1＝2>，∴3∉A.
又－3－1＝－4<，∴－3∈A.
3．下面几个命题中正确命题的个数是( )
①集合N*中最小的数是1；
②若－a∉N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集组成的集合有2个元素．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
4．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3∉M D．1∈M
解析：选B 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或∉)．
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b∉A，ab∈A.
答案：∉ ∈
7．若集合A中有两个元素－1和2，集合B中有两个元素x，a2，若A与B相等，则x＝________，a＝________.
解析：由集合相等的概念可知x＝－1，a2＝2，即a＝±.
答案：－1 ±
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
解析：∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，
∴结合数轴知a＝6.
答案：6
9．已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
解：由题意知x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
①当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入得集合的三个元素为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性．所以x＝－1舍去．
②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，把x＝－代入得集合的三个元素为－，－3,12，满足集合中元素的互异性．
由①②可知x＝－.
10．方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A.当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．
解：A中有且只有一个元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根．①当a＝0时，方程的根为－；②当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此时方程的两个相等的根为－1.综上，当a＝0时，集合A中的元素为－；当a＝1时，集合A中的元素为－1.
B级——高考水平高分练
1．已知不等式x－a≥0的解组成的集合为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．
解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.
答案：a>3
2．含有三个实数的集合A中有a2，，a三个元素，若0∈A且1∈A，则a2 019＋b2 019＝________.
解析：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以＝0，即b＝0.又1∈A，可知a2＝1或a＝1.当a＝1时，
得a2＝1，由集合元素的互异性，知a＝1不合题意．
当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a＝－1，b＝0，所以a2 019＋b2 019的值为－1.
答案：－1
3．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，求a＋b的值．
解：因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A，
所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．
所以所以
故a＋b＝－1.
4．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，根据上述条件求出实数a的值．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．
综上所述，a＝－3.
5．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．
解：根据已知条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”逐步推导得出其他元素．
(1)其他所有元素为－1，.
(2)假设－2∈A，则∈A，则∈A.其他所有元素为，.
(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下．
由已知，若a∈A，则∈A知，＝∈A，＝a∈A.
故A中只能有a，，这3个元素．
下面证明三个元素的互异性．若a＝，则a2－a＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a≠.
同理可证，a≠，≠.结论得证．
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