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课时跟踪检测（二） 集合的表示
A级——学考水平达标练
1．下列说法中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
解析：选A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以∉{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
2．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选D 选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
3．下列选项中，集合M，N相等的是( )
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
C．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
D．M＝{(x，y)|x＝3且y＝2}，N＝{(x，y)|x＝3或y＝2}
解析：选A 集合中元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；D选项中集合M中元素是一个点(3,2)，而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：选D ∵集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
5．若集合A＝{－1,2}，B＝{0,1}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B ∵集合A＝{－1,2}，B＝{0,1}，
集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}，
∴当x＝－1时，y＝0或1，可得z＝－1或0，
当x＝2时，y＝0或1，可得z＝2或3，
∴集合z的元素有：－1,0,2,3.有4个元素．
6．图中阴影部分(含边界)所表示的点的集合用描述法表示为________．
解析：由于阴影部分是由一些点构成的，且－1≤x≤3，－1≤y≤1，因此该部分用集合表示为{(x，y)|－1≤x≤3且－1≤y≤1}．
答案：{(x，y)|－1≤x≤3且－1≤y≤1}
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．
解析：∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，∴x＝6－y∈N，
∴
∴A＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}．
答案：{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案：{1,3}
9．选择适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且小于8的有理数；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
(3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合；
(4)100以内被3除余1的正整数．
解：(1)大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q|1＜x＜8}．
(2)集合的元素是点，点有无数个，用描述法表示为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}．
(3)方程(x2－9)x＝0的实数解有三个－3,0,3，集合用列举法表示为{－3,0,3}，也可以用描述法表示为{x|(x2－9)x＝0}．
(4)100以内被3除余1的正整数用列举法表示为{1,4,7,10,13，…，100}，用描述法表示为{x|x＝3k＋1，k∈N，x≤100}．
10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3,1.由根与系数的关系得解得所以y＝x2＋3x－3.将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理，得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}．
B级——高考水平高分练
1．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．
解析：∵甲最终的得分为27分，∴甲答对了10道题目中的9道，∵甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．
∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分．
如果是第一道题以外的一个题目，则乙一定答错，而第一道题，则乙也一定答错，此时乙可得24分．
综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}．
答案：{24,27,30}
2．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
答案：6
3．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求实数c的值．
解：分两种情况进行讨论．
①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0.
当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，不符合题意．
②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0.
由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.
解得c＝－或c＝1(舍去)，当c＝－时，经验证，符合题意．
综上所述，c＝－.
4．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：(1)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，
∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，
解得a<且a≠0，
∴实数a的取值范围为.
(2)当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥.
∴实数a的取值范围为.
5．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，
n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
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