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课时作业13 余弦定理
知识点一 已知两边及其夹角解三角形
1.在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于( )
A. B. C．3 D．4
答案 A
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，∴c＝.
2．在△ABC中，若a＝8，B＝60°，c＝4(＋1)，则b＝________.
答案 4
解析 由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(＋1)]2－2×8×4(＋1)×cos60°＝64＋16(4＋2)－64(＋1)×＝96，∴b＝4.
知识点二 已知两边及一边对角解三角形
3.在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为( )
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
答案 B
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝8.故选B.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cosA＝，且b＜c，则b＝( )
A. B．2
C．2 D．3
答案 B
解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.∵b＜c，∴b＝2.故选B.
知识点三 已知三边解三角形
5.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于( )
A．30° B.45°
C．60° D.120°
答案 C
解析 由余弦定理，得cosB＝＝＝，∵0<B<180°，∴B＝60°.
6．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
答案
解析 ∵cosC＝＝，0<C<π，
∴sinC＝.∴AD＝ACsinC＝.
知识点四 余弦定理的推论
7.在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵a是最大的边，∴A＞.
∵a2＜b2＋c2，∴cosA＝＞0.
∴A＜，故＜A＜.故选C.
8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 C
解析 由余弦定理，得cosC＝＝，得c＝3.所以角B为最大角，则cosB＝＝－.故选C.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 依题意，得·tanB＝，所以由余弦定理，得cosBtanB＝，∴sinB＝，∵0<B<π，∴B＝或B＝.故选D.
知识点五 余弦定理的应用
10.在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 ∵·＝||||cos〈，〉，由向量模的定义和余弦定理可得出||＝3，||＝2，
cos〈，〉＝＝.故·＝3×2×＝.
11．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
答案 B
解析 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又∵b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形.
易错点 忽视三角形中边的隐含关系
12.在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大边c的取值范围．
易错分析 易忽略两边之和大于第三边即c＜3，错解为c∈(，＋∞)．
正解 ∵在钝角三角形ABC中，c为最大边，
∴cosC＜0，即a2＋b2－c2＜0.
∴c2＞a2＋b2＝5，∴c＞.
又c＜b＋a＝3，∴＜c＜3，
即c的取值范围是(，3)．
一、选择题
1．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的大小为( )
A．30° B.45°
C．60° D.120°
答案 C
解析 ∵cosB＝
＝＝，0<B<180°，
∴B＝60°.
2．若1＋cosA＝，则三角形的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形
D．等腰直角三角形
答案 A
解析 由1＋cosA＝，得cosA＝，根据余弦定理，得cosA＝＝，则c2＝a2＋b2.所以三角形为直角三角形．故选A.
3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
答案 D
解析 ∵23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，
∴cos2A＝，∴cosA＝±.
∵△ABC为锐角三角形，
∴cosA＝，又∵a＝7，c＝6，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
即49＝b2＋36－b.∴b＝5或b＝－(舍去)．
∴b＝5.故选D.
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图所示，在△ACD中，设CD＝a，由CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，得
a2＝(a)2＋(a)2－2a·a·cos∠DAC，
解得cos∠DAC＝.故选B.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b
B．a<b
C．a＝b
D．a与b的大小关系不能确定
答案 A
解析 由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcosC，则2a2＝a2＋b2＋ab，即a2＝b2＋ab，则2＋－1＝0，所以＝<1，所以a>b，故选A.
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．
答案
解析 ∵cosA＝，
∴bccosA＝(b2＋c2－a2)．
同理，accosB＝(a2＋c2－b2)，
abcosC＝(a2＋b2－c2)．
∴bccosA＋accosB＋abcosC＝(a2＋b2＋c2)＝.
7．在△ABC中，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则c＝________.
答案 1或2
解析 已知a＝1，b＝，A＝30°，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得1＝3＋c2－3c，
即c2－3c＋2＝0，因式分解，得(c－1)(c－2)＝0，
解得c＝1或c＝2，经检验都符合题意，所以c的值为1或2.
8．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
答案
解析 由题意，得a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
三、解答题
9．已知在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求边c的值．
解 (1)由已知可得cosA＝＝＝－，
∵0<A<π，∴A＝120°.
(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，将a＝2，b＝2，cosA＝－代入可得12＝4＋c2－4c·，
即c2＋2c－8＝0，∴c＝－4(舍去)或c＝2，
∴边c的值为2.
10．已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx,2cosωx－sinωx)，ω>0，函数f(x)＝m·n＋|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)＝2，c＝2，S△ABC＝，求a的值．
解 (1)f(x)＝m·n＋|m|
＝cos2ωx＋2sinωxcosωx－sin2ωx＋1
＝cos2ωx＋sin2ωx＋1
＝2sin＋1.
由题意，知T＝π，又∵T＝＝π，∴ω＝1.
(2)∵f(x)＝2sin＋1，
∴f(A)＝2sin＋1＝2，
sin＝.
∵0<A<π，∴<2A＋<2π＋，
∴2A＋＝，∴A＝.
∴S△ABC＝bcsinA＝，∴b＝1.
∴由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×＝3.
∴a＝.
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