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课时跟踪检测（三十二） 弧 度 制
A级——学考水平达标练
1．下列命题中，正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角
解析：选D 根据1弧度的定义可知D正确．
2．半径为1，圆心角为的扇形的面积为( )
A. B.
C．π D.
解析：选A 由扇形面积公式得：S＝×r2×|α|＝×12×＝，故选A.
3．(2018·湖南师大附中高一期中)在区间(0,2π)内与－终边相同的角是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为－＝－8π＋，所以－与终边相同，选D.
4．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.
5．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
解析：选B 显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为×2π＝－π.
6．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈，则α＝________.
解析：由题意知，角α与角的终边相同，则＋2π＝π，－2π＝－π，－4π＝－π.
答案：－，－，，
7．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．
解析：设原来圆的半径为r，弧长为l，弧所对的圆心角为α(0＜α＜2π)，则现在的圆的半径为3r，弧长为l，设弧所对的圆心角为β(0＜β＜2π)，于是l＝αr＝β·3r，∴β＝α.
答案：
8．地球赤道的半径约是6 370 km，赤道上1′所对的弧长为1海里，则1海里大约是________km(精确到0.01 km)．
解析：因为1′＝°＝×，所以l＝α·R＝××6 370≈1.85(km)．
答案：1.85
9．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解：(1)将阴影部分看成是由射线OA逆时针转到OB所形成的图形，
故满足条件的角的集合为.
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是由OA逆时针旋转到OB所形成的图形，故满足条件的角的集合为.
10．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为α(0＜α＜2π)，
则解得
∴圆心角α＝＝2 rad.
如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1 rad.
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，
∴AB＝2sin 1(cm)．
B级——高考水平高分练
1．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.
2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2.
解析：＝120°，根据题设，弦＝2×4sin ＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，
因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)．
答案：9
3．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
又θ∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋π＜4π(k∈Z)．
解得－＜k＜(k∈Z)，
∴k＝－2，－1,0,1.
∴θ的值是－π，－π，π，π.
4．已知扇形的面积为25，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取得最小值？
解：设扇形的半径为r，弧长为l，周长为y，则y＝l＋2r.
由题意知lr＝25，则l＝，
∴y＝＋2r(r>0)．
利用函数单调性的定义可以证明：
当0<r≤5时，函数y＝＋2r是减函数；
当r>5时，函数y＝＋2r是增函数．
∴当r＝5时，y取得最小值20，
此时l＝10，圆心角α＝＝2.
即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取得最小值．
5．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，求点A走过的路程及走过的弧所对应的扇形的总面积．
解：所在的圆的半径是2 dm，所对的圆心角为，所在的圆的半径是1 dm，所对的圆心角为，所在的圆的半径是 dm，所对的圆心角是.点A走过的路程是3段圆弧长之和，
即2×＋1×＋×＝π(dm)；
3段弧所对应的扇形总面积为
×2×π＋×1×＋××＝(dm2)．
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