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课时素养评价 三十二
对数的运算
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知x,y为正实数,则 ( )
A.2ln x+ln y=2ln x+2ln y
B.2ln(x+y)=2ln x·2ln y
C.2ln x·ln y=(2ln x)ln y
D.2ln(xy)=2ln x·2ln y
【解析】选C、D.根据指数与对数的运算性质可得2ln x·ln y=(2ln x)ln y,
2ln(xy)=2ln x+ln y=2ln x·2ln y,
可知C,D正确,而A,B都不正确.
2.式子-log32×log427+2 0180等于 ( )
A.0 B.
C.-1 D.
【解析】选A.-log32×log427+20180
=-×+1
=-×+1=-+1=0.
3.若lg x=m,lg y=n,则lg-lg的值为 ( )
A.m-2n-2 B.m-2n-1
C.m-2n+1 D.m-2n+2
【解析】选D.因为lg x=m,lg y=n,
所以lg-lg=lg x-2lg y+2=m-2n+2.
4.若5a=2b=1且abc≠0,则+= ( )
A.2 B.1
C.3 D.4
【解析】选A.因为5a=2b=1,
所以取常用对数得:alg5=blg2=,所以+=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2)=2.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知a2=(a>0),则loa=________.
【解析】由a2=(a>0)得a=,
所以lo=lo=2.
答案:2
6.已知x>0,y>0,若2x·8y=16,则x+3y=________,则+log927y= ________.
【解析】根据题意,若2x·8y=16,则2x+3y=24,
则x+3y=4,则+log927y=+=(x+3y)=2.
答案:4 2
三、解答题(共26分)
7.(12分)求下列各式的值:
(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0
(2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.
【解析】(1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0
=+2++1=5.
(2)lg 25+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2
=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2
=2+lg 2lg 5+lg 5+(lg 2)2
=2+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5
=2+lg 2+lg 5=3.
8.(14分)2018年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每年增长6.7%,那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0,lg 1.067≈0.028 2,精确到1年).
【解析】设经过x年国民生产总值为2018年的2倍.
经过1年,国民生产总值为a(1+6.7%),
经过2年,国民生产总值为a(1+6.7%)2,
…
经过x年,国民生产总值为a(1+6.7%)x=2a,
所以1.067x=2,两边取常用对数,得x·lg 1.067=lg 2.
所以x=≈≈11.
故约经过11年,国民生产总值是2018年的2倍.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知实数a,b满足ab=ba,且logab=2,则ab= ( )
A. B.2
C.4 D.8
【解析】选D.因为实数a,b满足logab=2,故a2=b,又由ab=ba得=a2a,解得:a=2,或a=0(舍去),故b=4,ab=8.
2.(4分)某化工厂生产一种溶液,按市场需求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1) ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【解析】选C.设需要过滤n次,
则0.02×≤0.001,即≤,
所以nlg≤lg,即n≥=≈7.4,
又n∈N,所以n≥8,
所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.
【加练·固】某学校2016年投入130万元用于改造教学硬件设施,为进一步改善教学设施,该校决定每年投入的资金比上一年增长12%,则该校某年投入的资金开始超过300万的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg3≈0.48)
( )
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
【解析】选C.假设该校某年投入的资金开始超过300万的年份是x,
则130(1+12%>300,
所以x-2016>=7.4,x>2023.4,
该校某年投入的资金开始超过300万的年份是2024.
3.(4分)(lg2)2+lg5·lg20++0.02×=________.
【解析】(lg2)2+lg5·lg20+()0+0.02×=(lg2)2+lg5·(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3×9=(lg2+lg5)2+1+×9=1+1+100=102.
答案:102
【加练·固】+log2(47×25)-πln=________.
【解析】+log2(47×25)-πln
=4-π+log2219+π=4+19=23.
答案:23
4.(4分)已知函数f(x)=则f=________.
【解析】因为2+log23<4,所以f=
f==·
=×=.
答案:
5.(14分)已知2x=3y=5z,且++=1,求x,y,z.
【解析】令2x=3y=5z=k(k>0),
所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,
所以=logk2,=logk3,=logk5,由++=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,
所以k=30,所以x=log230=1+log215,
y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.
1.已知函数f(n)=lo(n+2)(n为正整数),若存在正整数k满足f(1)·f(2)·…·f(n)=k,那么我们将k叫做关于n的“对整数”,当n∈[1,2016]时,“对整数”的个数为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】选C.因为f(n)=lo(n+2),
所以k=f(1)·f(2)·…·f(n)
=··…·=log2(n+2),
所以n+2=2k ,n=2k-2,又n∈,所以k∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10} 满足要求,所以当n∈[1,2016]时,“对整数”的个数为9个.
2.如果方程(lg x)2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0的两根是α,β,求αβ的值.
【解析】方程(lgx)2+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0可以看成关于lg x的二次方程.
因为α,β是原方程的两根,
所以lg α,lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根.
由根与系数的关系,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=lg,
所以lg αβ=lg α+lg β=lg ,
所以αβ=.
【加练·固】已知方程x2+xlog26+log23=0的两个实数根为α,β,则·等于 ( )
A. B.36
C.-6 D.6
【解析】选B.方程x2+xlog26+log23=0的两个实数根为α,β,
则α+β=-log26,
则·===62=36.
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