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课时素养评价 四十一
弧 度 制
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)将-1 485°化成α+2kπ(k∈Z)的形式是 ( )
A.--8π B.π-8π
C.-10π D.π-10π
【解析】选A、D.因为-1 485°=-45°-4×360°=--8π.-1 485°=315°-5×360°=π-10π.
2.用弧度制表示终边落在第二象限的角组成的集合为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为终边落在y轴正半轴的角的集合为,终边落在x轴负半轴的角的集合为{α|α=π+2kπ,k∈Z},所以终边落在第二象限的角组成的集合可表示为
.
3.扇形的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则 ( )
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的圆心角增大到原来的2倍
C.扇形的圆心角增大到原来的4倍
D.扇形的圆心角减小到原来的一半
【解析】选A.设扇形原来的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,所以α=,β===α,即扇形的圆心角大小不变.
【加练·固】
圆的半径变为原来的,而弧长不变,该弧所对的圆心角是原来的________倍.
【解析】因为l=r·θ,所以θ=.因为半径变为原来的,弧长不变,所以圆心角变为θ'==2·=2θ.
答案:2
4.角-π的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.-π=-4π+π,π的终边位于第四象限.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的弧长为________,面积为________.
【解析】60°=,扇形的弧长为l=|α|·r=×=π
面积为S=lr=×π×=π.
答案:π π
6.若α∈(0,π),且α与角-终边相同,则α=________.
【解析】-=-2π+,故α=.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)把下列角化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式:
(1);(2)-315°.
【解析】(1)因为0≤<2π,所以=4π+.
(2)因为-315°=-315×=-=-2π+,
因为0≤<2π,所以-315°=-2π+.
8.(14分)已知角α=1 200°.
(1)将α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限的角.
(2)在区间[-4π,π]上找出与α终边相同的角.
【解析】(1)因为α=1 200°=1 200×==3×2π+,又<<π,所以角α与的终边相同,所以角α是第二象限的角.
(2)因为与角α终边相同的角(含角α在内)为2kπ+,k∈Z,所以由-4π≤2kπ+≤π,得-≤k≤.
因为k∈Z,所以k=-2或k=-1或k=0.
故在区间[-4π,π]上与角α终边相同的角是
-,-,.
(15分钟·30分)
1.(4分)把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是 ( )
A.-π B.-2π C.π D.-π
【解析】选A.因为-π=-2π+=2×(-1)π+,
或-=-4π+,且<,所以θ=-π.
2.(4分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是 ( )
A.6 m2 B.9 m2
C.12 m2 D.15 m2
【解析】选B.根据题设,弦=2×4sin=4(m),矢=4-2=2(m),故弧田面积=×(弦×矢+矢2)=(4×2+22)=4+2≈9(m2).
3.(4分)已知集合A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z},集合B={x|-4≤x≤4},则A∩B=________.
【解析】如图所示,
所以A∩B=[-4,-π]∪[0,π].
答案:[-4,-π]∪[0,π]
4.(4分)若圆弧长度l等于该圆内接正三角形的边长,则其圆心角α的弧度数为________.
【解析】如图,等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则弧所对的圆心角为∠AOB=π,作OM⊥AB,垂足为M,在直角三角形AOM中,
AO=r,∠AOM=,所以AM=r,AB=r,所以l=r,α===,所以圆心角的弧度数为.
答案:
5.(14分)已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求:
(1)弧的长.
(2)扇形所含弓形的面积.
【解析】(1)因为120°=π=π,
所以l=α·r=π×6=4π,所以弧的长为4π.
(2)因为S扇形AOB=lr=×4π×6=12π,
如图所示,过点O作OD⊥AB,交AB于D点,
于是有S△OAB=AB·OD=×2×6cos 30°×3=9.
所以弓形的面积为S扇形AOB-S△OAB=12π-9.
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