资源描述
课时素养评价 七
充 要 条 件
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.“x>a”是“x>|a|”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当x>a时,如x=1,a=-1,x=|a|,
所以x>ax>|a|,显然x>|a|⇒x>a,
所以“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件.
2.设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.本题采用特殊值法:
当a=3,b=-1时,a+b>0,但ab<0,故不是充分条件;
当a=-3,b=-1时,ab>0,但a+b<0,故不是必要条件.所以“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.
3.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是
( )
A.Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B.Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件
C.Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D.Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
【解析】选A、B、D.A正确,Δ=b2-4ac≥0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
B正确,Δ=b2-4ac=0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
C错误,Δ=b2-4ac>0⇒方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根;
D正确,Δ=b2-4ac<0⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根.
4.设全集为U,在下列条件中,是B⊆A的充要条件的有 ( )
①A∪B=A;②(UA)∩B=∅;③UA⊆UB;
④A∪(UB)=U.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.画出Venn图可知,
B⊆A⇔A∪B=A;B⊆A⇔(UA)∩B=∅;
B⊆A⇔UA⊆UB;
B⊆A⇔A∪(UB)=U.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填空
(1)m=1是函数y=为二次函数的______条件.
(2)△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的______条件.
【解析】(1)当m=1时,函数y=x2为二次函数.反之,当函数y=为二次函数时,
m2-4m+5=2,解得m=3或m=1,
所以m=1是函数y=为二次函数的充分不必要条件.
(2)三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,
所以△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角,
∠ABC为锐角△ABC是锐角三角形,
所以△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的充分不必要条件.
答案:(1)充分不必要 (2)充分不必要
6.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
【解析】一元二次方程x2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n≥0⇔n≤4.又n∈N*,则n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;
n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.
答案:3或4
三、解答题
7.(16分)在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)
(1)p:∠C=90°;q:△ABC是直角三角形.
(2)p:a,b至少有一个不为零;q:a2+b2>0.
(3)p:a+1>b;q:a>b.
(4)p:-5x2ym与xny是同类项;q:m+n=3.
【解析】(1)由题意得,p⇒q,qp,
所以p是q的充分不必要条件;
(2)若a,b至少有一个不为零,则a2,b2至少有一个大于零,所以a2+b2>0,反之由a2+b2>0也可推出a,b至少有一个不为零,所以p⇔q,
所以p是q的充要条件.
(3)p:a+1>b,q:a>b,
因为a+1>a,所以q⇒p,pq,
所以p是q的必要不充分条件.
(4)若-5x2ym与xny是同类项,
则m=1,n=2,所以m+n=3,
当m+n=3时,-5x2ym与xny不一定是同类项,
所以p⇒q,qp,所以p是q的充分不必要条件.
(15分钟·30分)
1.(4分)设P,Q是非空集合,命题甲为P∩Q=P∪Q;命题乙为:P⊆Q,那么甲是乙的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.P∩Q=P∪Q⇒P=Q⇒P⊆Q,
当PQ时,P∩Q≠P∪Q,所以P⊆QP∩Q=P∪Q,所以甲是乙的充分不必要条件.
2.(4分)若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)= -a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.若φ(a,b)=0,即=a+b,
两边平方得ab=0,若a=0,
则=b,所以b≥0,
若b=0,则=a,所以a≥0,故具备充分性.
若a≥0,b≥0,ab=0,则不妨设a=0.
φ(a,b)=-a-b=-b=0.故具备必要性.
3.(4分)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是 ( )
A.b=c=0 B.b=0且c≠0
C.b=0 D.b≥0
【解析】选C.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔-=0⇔b=0.
4.(4分)已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
【解析】因为q是p的必要不充分条件,
所以p⇒q,qp,
所以{x|-1<x<3}{x|-1<x<m+1},
所以m+1>3,解得m>2.
答案:m>2
【加练·固】已知p:0<x<3,q:2x-3<m,若p是q的充分不必要条件,实数m的取值范围是________.
【解析】因为由2x-3<m得x<,
因为p是q充分不必要条件,所以{x|0<x<3}{x|x<},所以≥3,解得m≥3.
答案:m≥3
5.(14分)设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,
(1)充分性(p⇒q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,
则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.
当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),
|x|+|y|=-x-y,所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
(2)必要性(q⇒p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
所以|xy|=xy,所以xy≥0.
由(1)(2)可得,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
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