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课时素养评价 十六
函数的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)设f:x→x2是集合A到集合B的函数,如果集合B={1},那么集合A可能是 ( )
A.{1} B.{-1}
C.{-1,1} D.{-1,0}
【解析】选A、B、C.A、B、C都符合题意.
若集合A={-1,0},则0∈A,但02=0∉B.
2.函数f(x)=+的定义域为 ( )
A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,2) D.[-1,+∞)
【解析】选A.要使函数f(x)有意义,需满足解得x∈[-1,2)∪(2,
+∞).
【加练·固】已知集合A={x|x≥4},g(x)=的定义域为B,若A∩B=∅,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,4) B.(3,+∞)
C.(-∞,3) D.(-∞,3]
【解析】选D.g(x)的定义域B={x|x<a+1},
由于A∩B=∅,画数轴
易得a+1≤4,即a≤3.
3.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出以下四个图形,其中能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解析】选C.图象(1)中,集合M内(1,2]的元素在集合N内没有对应元素,所以图象(1)不能表示集合M到集合N的函数关系;图象(2)中,集合M内的任意元素在集合N中都有唯一确定的对应元素,所以图象(2)能表示集合M到集合N的函数关系;图象(3)中,集合M内的任意元素在集合N中都有唯一确定的对应元素,所以图象(3)能表示集合M到集合N的函数关系;图象(4)中,集合M内的元素在集合N中对应的元素不唯一,所以图象(4)不能表示集合M到集合N的函数关系.所以能表示集合M到集合N的函数关系的是(2)、(3).
4.设f(x)=|x-1|-|x|,则f等于( )
A.- B.0 C.1 D.
【解析】选C.f=f=f(0)=|0-1|-|0|=1.
【加练·固】已知函数f(x)=,则f= ( )
A. B. C.a D.3a
【解析】选D.f=3a.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.(2a,3a-1]为一确定的区间,则a的取值范围是________.
【解析】由题意3a-1>2a,得a>1.
答案:(1,+∞)
6.已知函数f(x)=,g(x)=f(x-3),则g(x)=________,函数g(x)的定义域是________.(用区间表示)
【解析】因为f(x)=,
所以g(x)=f(x-3)=,
由求得x≥3且x≠4,
所以函数g(x)的定义域是[3,4)∪(4,+∞).
答案: [3,4)∪(4,+∞)
【加练·固】已知等腰△ABC的周长为10,底边长y关于腰长x的函数关系式为y=10-2x,则此函数的定义域为________.
【解析】△ABC的底边长显然大于0,即y=10-2x>0,所以x<5,又两边之和大于第三边,所以2x>10-2x,所以x>,所以此函数的定义域为.
答案:
三、解答题
7.(16分)已知函数f(x)=-.
(1)求函数f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.
【解析】(1)根据题意知x-1≠0且x+5≥0,
所以x≥-5且x≠1,即函数f(x)的定义域为[-5,1)∪(1,+∞).
(2)f(-1)=-5.f(12)=-.
(15分钟·30分)
1.(4分)给定的下列四个式子中,能确定y是x的函数的是
( )
A.x2+y2=1
B.|x-1|+=0
C.+=1
D.y=+
【解析】选C.A.由x2+y2=1,得y=±,不满足函数的定义,所以A不是函数.B.由|x-1|+=0得,|x-1|=0,=0,所以x=1,y=±1,所以B不是函数.C.由+=1,得y=(1-)2+1,满足函数的定义,所以C是函数.D.要使函数y=+有意义,则解得此时不等式组无解,所以D不是函数.
2.(4分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是 ( )
A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x
【解析】选C.f(x)=x+1.
因为f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,
所以f(2x)≠2f(x),即f(x)=x+1不满足f(2x)=2f(x).
3.(4分)设函数y=f(x)对任意正实数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),已知f(8)=3,则f()=________.
【解析】因为f(x·y)=f(x)+f(y),
所以令x=y=,得f(2)=f()+f(),
令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2),
令x=2,y=4,得f(8)=f(2)+f(4),
所以f(8)=3f(2)=6f(),又f(8)=3,
所以f()=.
答案:
4.(4分)若函数f(x)=的定义域为R,则m的取值范围为________.
【解析】要使原函数有意义,则mx2+x+3≠0,由于函数的定义域是R,故mx2+x+3≠0对一切实数x恒成立.当m=0时,x+3≠0,即x≠-3,与f(x)的定义域为R矛盾,所以m=0不合题意.
当m≠0时,有Δ=12-12m<0,解得m>.
综上可知,m的取值范围是.
答案:
5.(14分)已知函数f(x)=.
(1)化简f+f(x).
(2)求f+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值.
【解析】(1)f+f(x)=+
=+==.
(2)f+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
=+
++f(1)=+++=.
【加练·固】已知f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),若g(f(x))=x2+x+1,求a的值.
【解析】因为f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3),
所以g(f(x))=g(2x+a)=[(2x+a)2+3]
=x2+ax+(a2+3).又g(f(x))=x2+x+1,所以x2+ax+(a2+3)=x2+x+1,解得a=1.
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