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课时素养评价 二十八
指数函数的概念
(20分钟·40分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为 ( )
A.y=(+1)x B.y=(1-)x
C.y=3x+1 D.y=πx
【解析】选A、D.由指数函数的定义可知选A,D.
2.函数y=(a-2)2ax是指数函数,则 ( )
A.a=1或a=3 B.a=1
C.a=3 D.a>0且a≠1
【解析】选C.由指数函数的定义知所以解得a=3.
【加练·固】
若函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,则a=________.
【解析】由指数函数的定义得
解得a=1.
答案:1
3.某地为了保持水土资源,实行退耕还林,如果2015年退耕8万公顷,以后每年比上一年增加10%,那么2020年需退耕 ( )
A.8×1.14万公顷 B.8×1.15万公顷
C.8×1.16万公顷 D.8×1.13万公顷
【解析】选B.根据题意,2015年退耕8万公顷,
x年后退耕8×1.1x万公顷,
所以2020年退耕亩数为8×1.15(万公顷).
4.碳14的半衰期为5 730年,那么碳14的年衰变率为 ( )
A. B.
C. D.1
【解析】选C.设碳14的年衰变率为m,原有量为1,则m5 730=,解得m=,
所以碳14的年衰变率为.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1),经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为________.
【解析】由已知得
解得
所以f(x)=+3,
所以f(-2)=+3=4+3=7.
答案:7
6.已知函数f(x)满足f(x)=则f(-7.5)的值为________.
【解析】由题意,得f(-7.5)=f(-5.5)
=f(-3.5)=f(-1.5)
=f(0.5)=20.5=.
答案:
三、解答题
7.(16分)按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数解析式.如果存入本金1 000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)?
【解析】根据题意得:1期到期本利和为:
y=a(1+r),2期到期本利和为:y=a(1+r)2,
3期到期本利和为:y=a(1+r)3,
所以y=a(1+r)x(x∈N*).
将a=1 000,r=2.25%,x=5代入得,
y=1 000×(1+2.25%)5=1 000×1.022 55≈1 118.
所以本利和y随存期x变化的函数式为y=a(1+r)x(x∈N*)5期后的本利和约为
1 118元.
(15分钟·30分)
1.(4分)若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 ( )
A.2 B.2 C.-2 D.-2
【解析】选B.因为函数f(x)=·ax是指数函数,
所以a-3=1,a>0,a≠1,
解得a=8,所以f(x)=8x,
所以f==2.
【加练·固】
某种放射性元素,100年后只剩原来质量的一半,现有这种元素1克,3年后剩下
( )
A.克 B.(1-0.5%)3克
C.0.925克 D.克
【解析】选D.设这种放射性元素,每年衰减P,
则(1-P)100=,则1-P=,
故这种元素1克,3年后剩下(1-P)3
===(克).
2.(4分)某钢厂的年产量由2000年的4 000万吨增加到2010年的5 000万吨,如果按照这样的年增长率计算,则该钢厂2020年的年产量约为 ( )
A.6 000万吨 B.6 200万吨
C.6 250万吨 D.6 400万吨
【解析】选C.设年增长率为x,根据题意列方程得4 000(1+x)10=5 000,解得(1+x)10=,
如果按照这样的年增长率计算,则该钢厂2020年的年产量约为:4 000(1+x)20=
4 000×()2=6 250(万吨).
3.(4分)函数y=2(a-1)x是刻画指数衰减变化规律的模型,则a的取值范围是________.
【解析】由题意0<a-1<1,所以1<a<2.
答案:(1,2)
4.(4分)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·ax(a>0且a≠1)(x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元时,该商品上架第4天的价格为________元.
【解析】由题意可知
解得
所以当x=4时,y=k·a4=.
答案:
5.(14分)某生态文明小镇2018年底人口为20万人,人均住房面积为8 m2,计划2022年底人均住房达到10 m2,如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%,那么要实现上述计划,这个城市平均每年至少要新增住房多少万m2.(精确到1万m2)
【解析】设这个城市平均每年要新增住房x万m2,
据题意可得20×8+4x=20(1+1%)4·10,
所以x=50×1.014-40≈12.
所以这个城市平均每年至少需新增住房12万m2.
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