资源描述
7.3 复数的三角表示
[A 基础巩固]
1．复数－i的三角形式是( )
A．cos＋isin B．cos ＋isin
C．cos －isin D．cos ＋isin
解析：选A.－i＝cos π＋isin π
＝cos＋isin
＝cos＋isin.
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( )
A．150° B．40°
C．－40° D．320°
解析：选D.sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)
＝cos 320°＋isin 320°.
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( )
A．4 B.－4
C．2π－4 D.－4
解析：选D.sin 4＋icos 4＝cos＋isin.
4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )
A. B.或
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：选D.因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，
所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，
所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．
5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( )
A.
B.[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C.
D.
解析：选A.因为1＋i＝，
cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，
所以(1＋i)(cos θ－isin θ)
＝
＝.
6．已知z＝cos ＋isin ，则argz2＝________．
解析：因为argz＝，所以argz2＝2argz＝2×＝.
答案：
7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．
解析：(1＋i)
＝
＝
＝＝1－i.
答案：1－i
8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是_________________．
解析：由题知，z1＝2，z2＝2，
所以的辐角的主值为－＝.
答案：
9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2∈(0，π)，求z2的代数形式．
解：因为z1＝2，设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1z＝8.由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.
10．已知z＝－2i，z1－z2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.
解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，
所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又argz2＝，
所以z2＝，
z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2.
[B 能力提升]
11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．－ D．－
解析：选B.因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，
所以，所以a＝－1，故选B.
12．设π<θ<，则复数的辐角的主值为( )
A．2π－3θ B．3θ－2π
C．3θ D．3θ－π
解析：选B.＝＝cos 3θ＋isin 3θ.
因为π<θ<，所以3π<3θ<，
所以π<3θ－2π<，故选B.
13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且argz∈，则z的三角形式为________．
解析：由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.
因为argz∈，
所以z＝－1－i应舍去，
所以z＝－1＋i＝2.
答案：z＝2
14．已知k是实数，ω是非零复数，且满足argω＝π，(1＋)2＋(1＋i)2＝1＋kω.
(1)求ω的值；
(2)设z＝cos θ＋isin θ，θ∈[0，2π]，若|z－ω|＝1＋，求θ的值．
解：(1)设ω＝r(r>0)，可求出r＝，即ω＝－1＋i.
(2)|z－ω|＝.
因为|z－ω|＝1＋，
所以＝1＋，
化简得cos＝1，
而≤θ＋≤，
所以θ＋＝2π，即θ＝.
[C 拓展探究]
15．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．
解：由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β.
因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，
所以＝＋i，即
所以
所以tan ＝，故tan(α＋β)＝＝.
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