2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价三十三平面与平面垂直二新人教A版必修2.doc

课时素养评价 三十三
平面与平面垂直(二)
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，则n与α的关系是 (　　)
A.n∥α
B.n∥α或n⊂α
C.n⊂α或n与α不平行
D.n⊂α
【解析】选A.因为l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，所以l⊂α，且l与n异面，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.
2.如图，点P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，点E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是 (　　)

A.PE⊥AC
B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD
D.平面PBE⊥平面PAD
【解析】选D.因为PA=PD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立.又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立.
3.三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的 (　　)
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
【解析】选C.如图所示，

三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，
则AP⊥平面PBC，
因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，
因为PH⊥平面ABC，BC⊂面ABC，
所以PH⊥BC，又AP∩PH=P，
所以BC⊥平面APH，因为AH⊂平面APH，
所以AH⊥BC，同理可得CH⊥AB，
故H为△ABC的垂心.
4.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，
∠BAC=30°，则PC= (　　)
A. B.2 C. D.2
【解析】选C.因为PA=PB=，PA⊥PB，
所以AB=2，因为AB⊥BC，∠BAC=30°，
所以BC=ABtan 30°=2，
因为平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，平面PAB∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
所以PC==.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________对. 

【解析】由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，
又因为ADC⊥平面BDC，
所以互相垂直的平面有3对.
答案：3
6.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为________. 
【解析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，

因为AB=AD=BC=CD=1，
所以OA⊥BD，OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD，
所以OA⊥平面BCD，OA⊥OC.
又AB⊥AD，所以DB=.
取OB中点N，连接MN，CN，
所以MN∥OA，MN⊥平面BCD.
CN2=ON2+OC2，
所以CM==.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)(2019·清江高一检测)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.
(1)求证：PB∥平面MNC.
(2)若AC=BC，求证：平面PAC⊥平面MNC.

【证明】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，
所以MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.
(2)因为AC=BC，M为AB的中点，所以CM⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面PAB，所以CM⊥PA，因为PA⊥PB，PB∥MN，所以PA⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，所以PA⊥平面MNC，又PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面MNC.
8.(14分)如图甲，在四边形ABCD中，AD=2，CD=2，△ABC是边长为4的正三角形，把△ABC沿AC折起到△PAC的位置，使得平面PAC⊥平面ACD；如图乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点.
(1)求证：平面PAD⊥平面PON.
(2)求三棱锥M-ANO的体积.

【解析】(1)因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，所以PO⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，所以PO⊥AD，因为AD=2，CD=2，AC=4，所以AD2+CD2=AC2，所以AD⊥CD，因为ON是△ACD的中位线，所以ON∥CD，所以AD⊥ON，又ON∩PO=O，所以AD⊥平面PON，又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PON.
(2)因为△PAC是边长为4的等边三角形，
所以PO=2，所以M到平面ACD的距离d=PO=，因为ON是△ACD的中位线，所以S△AON=S△ACD=××2×2=，
所以VM-ANO=S△AON·PO=××=.
(15分钟·30分)
1.(4分)如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD等于 (　　)

A.8 B.10 C.13 D.16
【解析】选C.连接BC，

因为AC⊥l，所以△ACB为直角三角形，
所以BC===5，
又因为BD⊥l，BD⊂β，α∩β=l，α⊥β，
所以BD⊥α，所以BD⊥BC.
在Rt△DBC中，
CD===13.
2.(4分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不成立的是 (　　)

A.PB⊥AC
B.PD⊥平面ABCD
C.AC⊥PD
D.平面PBD⊥平面ABCD
【解析】选B.在A中，取PB中点O，连接AO，CO，

因为四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，
所以AO⊥PB，CO⊥PB，
因为AO∩CO=O，所以PB⊥平面AOC，
因为AC⊂平面AOC，所以PB⊥AC，故A成立.
在B中，因为△PAB与△PBC是正三角形，
所以PA=PC，AB=AC，设AC∩BD=M，连接PM，则PM⊥AC，所以PD与AC不垂直，
所以PD与平面ABCD不垂直，故B不成立.
在C中，因为PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，
所以AC⊥PB，因为AC⊥BD，PB∩BD=B，
所以AC⊥平面PBD，
因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，故C成立.
在D中，因为AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，
所以平面PBD⊥平面ABCD，故D成立.
3.(4分)边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.  
【解析】如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，

则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角.
即∠A′OC=90°，
又A′O=CO=a，
所以A′C==a，
即折叠后AC的长(A′C)为a.
答案：a
4.(4分)如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD与平面BCD所成的角是________.  

【解析】过A作AO⊥BD于O点，

因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，
则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
因为∠BAD=90°，AB=AD.所以∠ADO=45°.
答案：45°
5.(14分)(2019·大兴高一检测)如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E为PC中点.
(1)求证：PA⊥BC.
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.

【证明】(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，
PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.
又因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.
(2)因为AP=AD，设F为PD的中点，
连接，AF，EF，则EFCD.
又ABCD，所以EFAB.
所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.
经过证明知AF⊥平面PCD.
所以BE⊥平面PBC.
又因为BE⊂平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PDC.

1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD∶BC∶AB=2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.
则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为 (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.如图，

因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，
所以BC与DF不垂直，则①错误；
设点D在平面BCF上的射影为点P，
当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB=2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；
当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，
从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；
因为点D的投影不可能在FC上，
所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误.
2.(2019·泉州高一检测)在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.
如图，已知AD⊥PB.垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.
(1)证明：平面ADE⊥平面PAC.
(2)作出平面ADE与平面ABC的交线l，并证明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.
(在图中体现作图过程不必写出画法)

【解析】(1)在三棱锥P-ABC中，BC⊥AB，
BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，
又AD⊂平面PAB，所以BC⊥AD，
又AD⊥PB，PB∩BC=B，所以AD⊥平面PBC，
又PC⊂平面PBC，所以PC⊥AD，因为AE⊥PC且AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE，因为PC⊂平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.
(2)作图(如图)，

在平面PBC中，记DE∩BC=F，连接AF，则AF为所求的l.
因为PC⊥平面AED，l⊂平面ADE，所以PC⊥l，
因为PA⊥平面ABC，l⊂平面ABC，所以PA⊥l，
又PA∩PC=P，所以l⊥平面PAC，
又AE⊂平面PAC且AC⊂平面PAC，所以AE⊥l，AC⊥l，所以∠EAC就是二面角E-l-C的一个平面角.

- 10 -