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第1课时 对数函数的图象和性质
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知函数f(x)＝那么f的值为( )
A．27 B．
C．－27 D．－
答案 B
解析 f＝log2＝log22－3＝－3，f＝f(－3)＝3－3＝.]
2．若函数y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，log214]，则a，b的值分别为( )
A． B．
C． D．或
答案 D
解析 由1≤log2(x2－2)≤log214得2≤x2－2≤14，得4≤x2≤16，得－4≤x≤－2或2≤x≤4.由x2－2>0得x<－或x>，故b<－或a>.当a>时，由函数y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)单调递增得2≤x≤4，故a＝2，b＝4；当b<－时，由函数y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)单调递减得－4≤x≤－2，故a＝－4，b＝－2.
3．函数f(x)＝log2(1－x)的图象为( )
答案 A
解析 该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A正确．
4．函数y＝ax与y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象可能是( )
答案 A
解析 函数y＝ax与y＝－logax＝logx，则当a>1时，0<<1；当0<a<1时，>1，所以图象A正确．
5．函数y＝的图象大致是( )
答案 D
解析 由函数y＝的定义域是{x|x≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A，B，当x＝1时，y＝lg 1＝0，故图象与x轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D中图象符合．
二、填空题
6．函数y＝2＋loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．
答案 (1,2)
解析 令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．
7．函数f(x)＝log (－x2－2x＋3)的值域是________．
答案 [－2，＋∞)
解析 设u＝－x2－2x＋3，则u＝－(x＋1)2＋4≤4，
∵u>0，∴0<u≤4.
又y＝logu在(0,4]上是减函数，
∴logu≥log4＝－2，即f(x)≥－2，
∴函数f(x)＝log (－x2－2x＋3)的值域为[－2，＋∞)．
8．设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为________．
答案 (2，＋∞)
解析 由x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2且f(x)有最小值，可知a>1.由loga(x－1)>0，得x－1>1，即x>2.
三、解答题
9．比较下列各组值的大小：
解 (1)函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
又因为<，所以log>log.
(2)y＝logx和y＝logx的图象如图所示．
由图象，知log3<log3.
(3)由对数函数性质，知log0.3>0，log20.8<0，
所以log0.3>log20.8.
10．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解 (1)∵f(x)的值域为R，
∴要求u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)．
当a<0时，显然不可能；
当a＝0时，u＝2x＋1∈R成立；
当a>0时，若u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)，
则Δ＝4－4a≥0，解得0<a≤1.
综上可知，a的取值范围是0≤a≤1.
(2)由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，
∴解得a的取值范围是a>1.
B级：“四能”提升训练
1．当0<x≤时，<logax，求实数a的取值范围．
解 若<logax在x∈时成立，则0<a<1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，
由图象知 <loga，
即实数a的取值范围是.
2．已知函数f(x)＝lg |x|，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的图象草图；
(3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
解 (1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|>0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
因为f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示．
(3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg ＝lg .
因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
所以|x1|>|x2|＞0.所以＞1.
所以lg ＞0.所以f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．
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