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第2课时 对数函数性质的应用
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．如果logx<logy<0，那么( )
A．y<x<1 B．x<y<1
C．1<x<y D．1<y<x
答案 D
解析 对数函数y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，则由logx<logy<0＝log1，可得1<y<x.
2．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围为( )
A． B．
C．∪(1，＋∞) D．∪
答案 C
解析 loga<1＝logaa，当0<a<1时，a<，即0<a<；当a>1时，a>，即a>1.综上，a∈∪(1，＋∞)．
3．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A．f(2x)＝e2x(x∈R)
B．f(2x)＝ln 2·ln x(x＞0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R)
D．f(2x)＝ln x＋ln 2(x＞0)
答案 D
解析 因为函数y＝ex的图象与函数f(x)的图象关于直线y＝x对称，所以f(x)是y＝ex的反函数，即f(x)＝ln x，故f(2x)＝ln 2x＝ln x＋ln 2(x>0)，故选D．
4．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位长度得到的，过定点(1,1)，g(x)＝2－x＋1＝x－1的图象是由y＝x的图象向右平移一个单位长度得到的，过定点(0,2)，故只有C项中的图象符合．
5．函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 C
解析 若a>0，由f(a)>f(－a)，得log2a>loga＝－log2a，即log2a>0，则a>1；若a<0，则由f(a)>f(－a)，得log (－a)>log2(－a)，即－log2(－a)>log2(－a)，则log2(－a)<0，得0<－a<1，即－1<a<0.综上所述，a的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．
二、填空题
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，则不等式f(log4x)<0的解集是______．
答案
解析 由题意可知，f(log4x)<0⇔－<log4x<⇔log44－<log4x<log44⇔<x<2.
7．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
答案
解析 根据图象可知，|log3x|＝0，则x＝1，|log3x|＝1，则x＝或3.由图可知(b－a)min＝1－＝.
8．函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为________．
答案 －
解析 显然x>0，∴f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·log2(4x2)＝log2x·(log24＋2log2x)＝log2x＋(log2x)2＝2－≥－，当且仅当x＝时，有f(x)min＝－.
三、解答题
9．函数f(x)＝－log3，x∈(0,1)，求不等式f(x2)>f的解集．
解 ∵y＝在(0,1)上为减函数，
y＝－log3＝log3＝log3在(0,1)上也为减函数，
∴f(x)＝－log3在(0,1)上单调递减．
∴x2<.∴0<x<，
∴解集为.
10．已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范围．
解 (1)要使函数f(x)有意义，则
解得－2<x<2.
∴函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}．
(2)由(1)，可知函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称，对任意x∈(－2,2)，有－x∈(－2,2)．
∵f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f(x)，
∴函数y＝f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)，
当0≤x<2时，函数y＝f(x)为减函数，当－2<x<0时，函数y＝f(x)为增函数，
∴不等式f(m－2)<f(m)等价于|m|<|m－2|，解得m<1.
又解得0＜m＜2.
综上所述，m的取值范围是{m|0<m<1}．
B级：“四能”提升训练
1．设函数f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案 A
解析 由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln ＝ln ，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．故选A．
2．已知函数f(3x－2)＝x－1，x∈[0,2]，将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得函数y＝g(x)的图象．
(1)求函数y＝f(x)与y＝g(x)的解析式；
(2)设h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)，试求函数y＝h(x)的最值．
解 (1)设t＝3x－2，t∈[－1,7]，则x＝log3(t＋2)，
于是有f(t)＝log3(t＋2)－1，t∈[－1,7]．
∴f(x)＝log3(x＋2)－1，x∈[－1,7]，
根据题意得g(x)＝f(x－2)＋3＝log3x＋2，x∈[1,9]．
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝log3(x＋2)－1，x∈[－1,7]，函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]．
(2)∵g(x)＝log3x＋2，x∈[1,9]，
∴h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)＝(log3x＋2)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3，
∵函数g(x)的定义域为[1,9]，
∴要使函数h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)有意义，
必须有即1≤x≤3.
∴0≤log3x≤1，∴6≤(log3x＋3)2－3≤13.
∴函数y＝h(x)的最大值为13，最小值为6.
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