资源描述
4.3.2 对数的运算
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
2．如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c5
答案 A
解析 ∵lg x＝lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lg，∴x＝.
3．化简log2＋log2＋log2＋…＋log2等于( )
A．5 B．4 C．－5 D．－4
答案 C
解析 原式＝log2＝log2＝－5.
4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－＝( )
A. B．3 C．－ D．－3
答案 A
解析 ∵x＝log2.51000＝，y＝log0.251000＝，∴－＝(lg 2.5－lg 0.25)＝×lg ＝×lg 10＝.
5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于( )
A．2 B. C．4 D.
答案 A
解析 由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，∴2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
二、填空题
6．log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＝________.
答案
解析 原式＝log3＋lg (25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝.
7．化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.
答案
解析 原式＝×
＝log23×＝.
8．汶川里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关. 震级M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量．
答案 1000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2，E1，
则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg ＝3.
∴＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹的能量．
三、解答题
9．计算：(1)log27＋lg 4＋lg 25；
(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 2 )2＋lg ＋lg 0.06；
(3)2＋＋lg 20－lg 2－(log32)×(log23)＋(－1)lg 1.
解 (1)原式＝log ()6＋2lg 2＋2lg 5＝6＋2(lg 2＋lg 5)＝8.
(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2
＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2
＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2
＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.
(3)原式＝＋＋lg－·＋1＝＋－1＋lg 10－1＋1＝2.
10．已知log95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示log359.
解 解法一：由3n＝7，得n＝log37.
因为m＝log95＝＝log35，
所以log35＝2m.
所以log359＝＝＝.
解法二：由3n＝7，得n＝log37.
因为log37＝＝n，所以lg 7＝nlg 3.
因为log95＝＝＝m，
所以lg 5＝2mlg 3.
所以log359＝＝＝＝.
B级：“四能”提升训练
1．设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝c2.
(1)求证：log2＋log2＝1；
(2)如果log4＝1，log8(a＋b－c)＝，那么a，b，c的值是多少？
解 (1)证明：左边＝log2
＝log2
＝log2
＝log22
＝1
＝右边．
所以原等式成立．
(2)由log4＝1，得－3a＋b＋c＝0，①
由log8(a＋b－c)＝，得a＋b－c＝4，②
由题设知a2＋b2＝c2，③
由①＋②，得b－a＝2，④
由①得c＝3a－b，代入③得a(4a－3b)＝0，
因为a>0，所以4a－3b＝0，⑤
由④⑤得a＝6，b＝8，则c＝10.
2．已知a，b，x为正数，且lg (bx)·lg (ax)＋1＝0，求的取值范围．
解 因为lg (bx)·lg (ax)＋1＝0，
所以(lg b＋lg x)(lg x＋lg a)＋1＝0.
所以(lg x)2＋(lg a＋lg b)lg x＋lg a·lg b＋1＝0.
因为x>0，
所以上述关于lg x的一元二次方程有实根，
所以(lg a＋lg b)2－4(lg a·lg b＋1)≥0.
所以(lg a－lg b)2≥4.
所以lg a－lg b≥2或lg a－lg b≤－2.
所以≥100或0<≤.
故的取值范围是∪[100，＋∞)．
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