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第1课时 指数函数的概念及其图象和性质
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.
其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫指数函数，由定义知只有y＝3x是指数函数．故选B.
2．已知函数f(x)＝则f[f(－1)]＝( )
A．2 B. C．0 D.
答案 B
解析 f(－1)＝2－1＝，f[f(－1)]＝f＝3＝.
3．若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
答案 A
解析 ∵a>1，且－1<b<0，故其大致图象如图所示．
4．函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是( )
A．[0,1] B．[－1,0]
C. D.
答案 B
解析 ∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，∴－1≤1－2x≤0，选B.
5．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )
答案 A
解析 由题意f(x)＝1⊕2x＝故选A.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
答案 －3
解析 由已知，得f(1)＝2；因为f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－2，而当x>0时f(x)＝2x>1，所以a>0不成立，故a<0，即f(a)＝a＋1＝－2，所以a＝－3.
7．函数y＝－2－x的图象一定过第________象限．
答案 三、四
解析 y＝－2－x＝－x与y＝x关于x轴对称，一定过第三、四象限．
8．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
答案 {a|a≥1，或a＝0}
解析 作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解 ①当a>1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为增函数，
此时f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(0)＝1，
所以a2－1＝，所以a＝；
②当0<a<1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为减函数，
此时f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(2)＝a2，
所以1－a2＝，所以a＝.
综上所述，a＝或a＝.
10．求函数f(x)＝(2x－4)(x－2)的单调区间．
解 显然f(2)＝0，由指数函数和一次函数的单调性，
当2＜x1＜x2时，0＜2x1－4＜2x2－4,0＜x1－2＜x2－2，
两个不等式相乘得
0<(2x1－4)(x1－2)＜(2x2－4)(x2－2)，即0＜f(x1)＜f(x2)．
当x1＜x2＜2时，有2x1－4＜2x2－4＜0，x1－2＜x2－2＜0，
即所以(4－2x1)(2－x1)＞(4－2x2)(2－x2)>0，
故f(x1)＞f(x2)＞0，
所以(2，＋∞)是f(x)的单调增区间，(－∞，2)是f(x)的单调减区间．
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)令g(x)＝，判断函数g(x)的奇偶性，并简要说明理由．
解 (1)证明：设x1，x2是R上任意两个实数，且x2>x1，
(2)f(x)＝＝1－，
∵2x＋1>1，∴0<<2，即－2<－<0，
∴－1<1－<1.
∴f(x)的值域为(－1,1)．
(3)g(x)为偶函数．
由题意知g(x)＝＝·x，
易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝g(x)，
∴函数g(x)为偶函数．
2．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z.证明：5z＞2x＞3y.
证明 ∵2x＝3y，∴22x＝32y＝(3)3y，
∴(23)2x＝(32)3y.
∵32＞23,3y＞0，∴(32)3y＞(23)3y，
故(23)2x＞(23)3y.
由指数函数的单调性得2x＞3y.
∵2x＝5z，∴22x＝52z＝(5)5z，
∴(25)2x＝(52)5z.
∵25＞52,5z＞0，∴(52)5z＜(25)5z，
故(25)2x＜(25)5z.
由指数函数的单调性得2x＜5z.
综上，5z＞2x＞3y.
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