资源描述
4.4.3 不同函数增长的差异
一、选择题
1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，
b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，
所以b＜a＜c，故选B.
答案：B
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.
答案：B
3．若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：当a＞1时，loga＜0＜1，成立．
当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．
由 loga＜1＝logaa，得0＜a＜.
综上所述，0＜a＜或a＞1.
答案：B
4．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是( )
A．(0,2] B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．[2，＋∞)
解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．
答案：B
二、填空题
5．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.
解析：当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1.∴a＝3符合题意．
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1.
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意，综上知a＝3.
答案：3
6．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为________．
解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，
log2 ＝－log2，
＝，a2＝1，
因为a≠－1，
所以a＝1.
答案：1
7．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则则1＜a＜2；
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
答案：(1,2)
三、解答题
8．比较下列各组对数值的大小：
(1)log1.6与log2.9；
(2)log21.7与log23.5；
(3)log3与log3；
(4)log0.3与log20.8.
解析：(1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，
∴log1.6＞log2.9.
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5，
∴log21.7＜log23.5.
(3)借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，
∴log3＜log3.
(4)由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，
∴log0.3＞log20.8.
9．已知loga(2a＋3)＜loga3a，求a的取值范围．
解析：(1)当a＞1时，原不等式等价于解得a＞3.
(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于
解得0＜a＜1.
综上所述，a的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．
[尖子生题库]
10．已知a＞0且a≠1，f(logax)＝.
(1)求f(x)；
(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)＜0，求m的取值范围．
解析：(1)令t＝logax(t∈R)，
则x＝at，且f(t)＝，
所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)；
(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)
＝－f(x)，
且x∈R，所以f(x)为奇函数．
当a＞1时，ax－a－x为增函数，
并且注意到＞0，
所以这时f(x)为增函数；
当0＜a＜1时，类似可证f(x)为增函数．
所以f(x)在R上为增函数；
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)＜0，且f(x)为奇函数，
所以f(1－m)＜f(2m－1)．
因为f(x)在(－1,1)上为增函数，
所以
解之，得＜m＜1.
即m的取值范围是.
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