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第3课时 不同函数增长的差异
[A 基础达标]
1．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是( )
解析：选D.函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B中a>1，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，故选D.
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
4．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y(万人) 关于月数x的函数关系式近似是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
解析：选C.对于A，当x＝3时，y＝0.6，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当x＝3时，y＝1.5，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当x＝3时，y＝0.2＋log163≈0.6，与0.76差距较大，故排除D，故选C.
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：选B.由函数性质可知，在(4，＋∞)内，指数函数g(x)＝2x增长速度最快，对数函数h(x)＝log2x增长速度最慢，所以g(x)>f(x)>h(x)．
6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．
解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
答案：甲
7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：当x变大时，x比ln x增长要快，
所以x2要比xln x增长得要快．
答案：y＝x2
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．
答案：④ ① ③ ②
9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示：
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f(x)>g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x>4时，f(x)<g(x)．
10．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
解：方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，因为15.386>15，所以方案二较好．
[B 能力提升]
11．以下四种说法中，正确的是( )
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
解析：选D.对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当0<a<1时，显然不成立．当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．
12．如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
解析：由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝.
当t＝4时，y＝<，故①正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确．
答案：①③
13．某国2013年至2016年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y
(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
(1)画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
(3)利用关系式预测2030年该国的国内生产总值．
解：(1)画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
把直线经过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解得k＝0.677 7，b＝8.206 7.
所以函数关系式为y＝0.677 7x＋8.206 7.
(2)由得到的函数关系式计算出2014年和2015年的国内生产总值分别为
0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)，
0．677 7×2＋8.206 7＝9.562 1(万亿元)．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
(3)2030年，即x＝17时，由(1)得y＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6(万亿元)，
即预测2030年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．
14．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2024年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2024年的年产量．
解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝logx＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
由已知得解得
所以f(x)＝x＋，x∈N.
(2)2024年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，
2024年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1，
故2024年的年产量为9.1万件．
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