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4.5.3 函数模型的应用
[A 基础达标]
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
解析：选B.设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
函数图象过点(1，800)，(2，1 300)，
则
解得
所以y＝500x＋300，
当x＝0时，y＝300.
所以营销人员没有销售量时的收入是300元．
2．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )
解析：选A.从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内上升慢，在[t1，t2]时间段内上升快，于是下面大，上面小，故选A.
3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有亏损 B．略有盈利
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
解析：选A.由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．
4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
解析：选B.由题意可知50＝10＋(90－10)·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln ＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77.
5．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用．当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y分别为________．
解析：由三角形相似，
得＝，得x＝×(24－y)，
所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，
故当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案：15，12
6．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t(单位时间)
0
2
4
6
8
10
A(t)
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝________．
解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0·＝320·2 (t≥0)．
答案：4 320·2 (t≥0)
7．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
解析：由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
答案：2ln 2 1 024
8．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度v(单位：m/s)可以表示为v＝5log2，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)当燕子静止时，它的速度v＝0 m/s，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log2，解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2＝5log28＝15，
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
9．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分)
x(单位：克)
0
1
2
9
…
y
0
3
…
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数f(x)的最大值．
解：(1)当0≤x<6时，由题意，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由表格数据可得
解得
所以，当0≤x<6时，
f(x)＝－x2＋2x，
当x≥6时，f(x)＝.由表格数据可得f(9)＝＝，
解得t＝7.
所以当x≥6时，f(x)＝，
综上，f(x)＝
(2)当0≤x<6时，
f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，
所以当x＝4时，函数f(x)的最大值为4；
当x≥6时，f(x)＝单调递减，
所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3.
因为4>3，
所以函数f(x)的最大值为4.
[B 能力提升]
10．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
解析：选C.由已知得a＝a·e－50k，
即e－50k＝＝.
所以a＝·a＝(e－50k)·a＝e－75k·a，
所以t＝75.
11．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
解：(1)依题意知y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，
由题意得
所以a＝2，
所以y＝
(2)易知x≥8.
当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，
则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1 024，所以16≤x≤64.
当x＞64时，要使y∈[4，10]，
则x∈[4，10]，即40≤x≤100，
所以64＜x≤100.
综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元)．
[C 拓展探究]
12．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响，经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间．(精确到1 h，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
解：(1)由已知得，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，
解得k＝－ln 0.9(或k≈0.022)．
(2)由(1)，知P＝P0e ( ln 0.9 )t，
当P＝40%P0时，有0.4P0＝P0e( ln 0.9 )t，
解得t＝≈＝≈42.
故污染物减少到40%至少需要42小时．
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