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第1课时 对数函数的概念、图象及性质
[A 基础达标]
1．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝log22x D．y＝2log2x
解析：选C.y＝＝|x|，y＝()2的定义域为{x|x≥0}，y＝log22x＝x(x∈R)，y＝2log2x＝x(x>0)，故与函数y＝x是同一个函数的是y＝log22x.故选C.
2．y＝2x与y＝log2x的图象关于( )
A．x轴对称 B．直线y＝x对称
C．原点对称 D．y轴对称
解析：选B.函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，故函数图象关于直线y＝x对称．
3．函数f(x)＝ln＋的定义域为( )
A. B．(－2，＋∞)
C.∪ D.
解析：选C.对于函数f(x)＝ln＋，有
解得x>－2且x≠.
故定义域为∪.
4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
解析：选C.由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.
6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．
解析：由对数函数的定义可知，解得a＝5.
答案：5
7．函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
解析：依题意，当x＝0时，y＝loga(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．
答案：(0，－2)
8．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，
则即1＜a＜2，
若f(x)，g(x)均为减函数，则
无解．
综上，a的取值范围是(1，2)．
答案：(1，2)
9．已知函数f(x)＝log3x.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)由图象观察当x>1时，函数的值域．
解：(1)函数f(x)的图象如图：
(2)当x>1时，f(x)>0.故当x>1时，函数值域为(0，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数y＝f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明．
解：(1)要使函数y＝f(x)－g(x)有意义，
必须有解得－＜x＜.
所以函数y＝f(x)－g(x)的定义域是
.
(2)由(1)知函数y＝f(x)－g(x)的定义域关于原点对称，
所以，f(－x)－g(－x)
＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)
＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]
＝－[f(x)－g(x)]．
所以函数y＝f(x)－g(x)是奇函数．
[B 能力提升]
11．函数f(x)＝的定义域为(0，10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10
C．1 D.
解析：选C.由已知，得a－lg x≥0的解集为(0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0<x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
12．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出f(x)的大致图象．
解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
所以f(－x)＝lg(1－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－lg(1－x)，
所以f(x)的解析式为
f(x)＝
所以f(x)的大致图象如图所示：
13．求函数y＝(logx)2－logx＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．
解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，即－1≥logx≥－2.
设t＝logx，
则－2≤t≤－1，
所以y＝t2－t＋5，其图象的对称轴为直线t＝，
所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝.
[C 拓展探究]
14．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，g(x)＝(f(x))2＋f(x2)．
(1)求g(x)的定义域；
(2)求g(x)的最大值以及g(x)取得最大值时x的值．
解：(1)因为f(x)的定义域为[1，9]，
所以要使函数g(x)＝(f(x))2＋f(x2)有意义，必须满足所以1≤x≤3，所以g(x)的定义域为[1，3]．
(2)因为f(x)＝2＋log3x，
所以g(x)＝(f(x))2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
因为g(x)的定义域为[1，3]，
所以0≤log3x≤1.
所以当log3x＝1，即x＝3时，函数g(x)取得最大值．
所以g(x)max＝g(3)＝13.
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