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第2课时 指数函数及其性质的应用（习题课）
[A 基础达标]
1．不等式52x>5x－1的解集是( )
A．(－1，＋∞) B.
C．(－∞，－1) D．(－∞，－2)
解析：选A.由52x>5x－1得2x>x－1，
解得x>－1.故选A.
2．(2019·陕西西安中学期中测试)指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是减函数，则函数g(x)＝(a－2)x3在R上的单调性为( )
A．单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
C．单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
解析：选C.因为指数函数f(x)＝ax在R上是减函数，所以0<a<1.所以－2<a－2<－1，所以函数g(x)＝(a－2)x3在R上单调递减，故选C.
3．(2019·甘肃张掖期末测试)已知a＝，b＝π0，c＝30.9，则a，b，c的大小关系是( )
A．c<b<a B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
解析：选D.b＝π0＝1.又30<30.9<31，则1<c<3.a＝31.1>3，即有a>c>b，即b<c<a.故选D.
4．函数f(x)＝是( )
A．偶函数，在(0，＋∞)是增函数
B．奇函数，在(0，＋∞)是增函数
C．偶函数，在(0，＋∞)是减函数
D．奇函数，在(0，＋∞)是减函数
解析：选B.因为f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，
又因为y＝2x是增函数，y＝2－x为减函数，
故f(x)＝为增函数．故选B.
5．函数y＝的值域是( )
A．(－2，－1) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－2，－1]
解析：选D.当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x>1时，y＝31－x－2＝－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上函数值域为(－2，－1]．
6．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________．
解析：由指数函数定义知，b＝1.故a＋a2＝6.
又因为a>0，所以a＝2.
答案：2
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
答案：19
8．已知函数f(x)＝2|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
解析：由函数f(x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数f(x)为增函数，而已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．(2019·厦门检测)已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值．
解：因为y＝4·3x－2·9x＝4·3x－2·(3x)2，
令t＝3x，则y＝4t－2t2＝－2(t－1)2＋2，
因为－1≤x≤1，
所以≤3x≤3，即t∈.
又因为对称轴t＝1∈，
所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2.
10．已知指数函数f(x)的图象过点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围．
解：(1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
将点代入得＝a2.
解得a＝.
故f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1.
即x的取值范围为(－1，1)．
[B 能力提升]
11．(2019·东台检测)已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0，1)
解析：选D.因为f(x)＝a－x＝在R上为单调函数，又f(－2)>f(－3)，所以f(x)为增函数，故有>1，所以0<a<1.
12．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．
解析：因为－1<x<0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x<1，2－x>1，0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b<a<c.
答案：b<a<c
13．(2019·河南新乡期末测试)已知函数f(x)＝a3－ax(a>0且a≠1)．
(1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围；
(2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝23－2x<4＝22，
则3－2x<2，得x>，即x∈.
(2)y＝3－ax在定义域内单调递减，
当a>1时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，
f(x)min＝f(1)＝a3－a>1＝a0，得1<a<3.
当0<a<1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝a3>1，不成立．
综上可得a∈(1，3)．
14．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态？
解：(1)由题意可得
解得
故c，m的值分别为128，.
(2)由(1)知y＝128×，令128×≤，即≤，解得t≥32，即至少排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．
[C 拓展探究]
15．定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试判断f(x)是不是定义域R上的“局部奇函数”，若是，求出所有满足f(－x)＝－f(x)的x的值；若不是，请说明理由；
(2)若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
解：(1)对于f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)为二次函数，可知a≠0.
方程f(－x)＝－f(x)，即ax2－2x－4a＝－ax2－2x＋4a，2a(x2－4)＝0，
所以x＝±2，所以在定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为“局部奇函数”．
(2)法一：f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0，
因为f(x)的定义域为[－1，1]，
所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]内有解，
令t＝2x，则t∈，故－2m＝t＋，
设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t∈时，g(t)∈，即－2m∈，
所以m∈.
法二：当f(x)＝2x＋m时，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2－x＋2m＝0，
令t＝2x，则t∈，故关于t的二次方程t2＋2mt＋1＝0在上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”，设f(t)＝t2＋2mt＋1.
①当方程t2＋2mt＋1＝0在上只有一个解或有两个相同的解时，
需满足或f·f(2)≤0，
解得m＝－1或m＝－，
当m＝－时，方程在区间上有两个解，不符合，故m＝－1.
②当方程t2＋2mt＋1＝0在上有两个不相等实根时，需满足⇒
故－≤m＜－1，
综上，m∈.
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