2019_2020学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较课后篇巩固提升新人教B版必修第二册.docx

4.5　增长速度的比较
课后篇巩固提升
夯实基础
1.函数y=2x从x=12到x=2的平均变化率为(　　)
A.2 B.23 C.223 D.2
答案B
解析ΔyΔx=2×2-2×122-12=23.
2.函数f(x)=2x2从x=1到x=2的平均变化率为(　　)
A.1 B.2 C.22 D.32
答案D
解析ΔyΔx=2×22-2×122-1=32.
3.若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下面结论正确的是(　　)
A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3
C.m2>m1>m3 D.m1<m2<m3
答案A
解析函数f(x)=x在[0,1]上的平均变化率m1=1-01-0=1;函数g(x)=x2在[0,1]上的平均变化率m2=12-021-0=1;函数h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率m3=13-031-0=1.所以m1=m2=m3.故选A.
4.

如图是函数y=f(x)的图像,则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为(　　)
A.12
B.34
C.1
D.2
答案B
解析由函数f(x)的图像知,f(x)=x+32,-1≤x≤1,x+1,1≤x≤3,函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f(2)-f(0)2-0=3-322=34.
5.函数f(x)=x从1到a的平均变化率为14,则实数a的值为(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
答案B
解析f(x)=x从1到a的平均变化率为ΔyΔx=a-1a-1=11+a=14,解得a=9.
6.函数y=log3x在[a,a+1](a>0)上平均变化率大于1,则a的取值范围为　　　　　. 
答案0,12
解析因为ΔyΔx=log3(a+1)-log3a(a+1)-a
=log31+1a>1=log33,a>0,
所以1+1a>3,所以0<a<12.
7.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,第二年婴儿体重的平均变化率为　　　　　kg/月. 

答案0.25
解析ΔWΔt=14.25-11.2524-12=0.25(kg/月).
8.函数f(x)=2x+1在区间[a,b]上的平均变化率为　　　　　. 
答案2
解析函数f(x)=2x+1在区间[a,b]上的平均变化率为(2×b+1)-(2×a+1)b-a=2.
9.函数y=f(x)=-2x2+5在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为　　　　　. 
答案-8-2Δx
解析∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=-2(2+Δx)2+5-(-2×22+5)=-8Δx-2(Δx)2,
∴ΔyΔx=-8-2Δx,即平均变化率为-8-2Δx.
10.已知函数f(x)=3x2+2,求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
解∵f(x)=3x2+2,
∴f(x0)=3x02+2,f(x0+Δx)=3(x0+Δx)2+2=3x02+6x0Δx+3(Δx)2+2,
∴f(x0+Δx)-f(x0)=6x0Δx+3(Δx)2,
∴f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为f(x0+Δx)-f(x0)(x0+Δx)-x0=6x0Δx+3(Δx)2Δx=6x0+3Δx,
∴当x0=2,Δx=0.1时,平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
能力提升
1.f(x)=3x与f(x)=3x在[a,a+1]上的平均变化率分别为k1,k2,当k2>k1时,a的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.-∞,log332 D.log332,+∞
答案D
解析对f(x)=3x,ΔyΔx=3,对f(x)=3x,ΔyΔx=3a+1-3a(a+1)-a=2×3a,
由2×3a>3时,得a>log332.
所以a∈log332,+∞.
2.函数y=1x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为　　　　　. 
答案-2x0+Δx(x0+Δx)2x02
解析∵Δy=1(x0+Δx)2-1x02,
∴ΔyΔx=1(x0+Δx)2-1x02Δx=-2x0+Δx(x0+Δx)2x02.
3.某人服药后,人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位:mg/mL)来表示,它是时间t(单位:min)的函数,表示为c=c(t),下表给出了c(t)的一些函数值:
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/
(mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63

服药后30~70 min这段时间内,药物浓度的平均变化率为　　　　　. 
答案-0.002
解析c(70)-c(30)70-30=0.90-0.9840=-0.002.
4.巍巍泰山为五岳之首,登泰山在当地有“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看,为什么?你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗?

解山路从A处到B处高度的平均变化率为hAB=10-050-0=15,山路从B处到C处高度的平均变化率为hBC=15-1070-50=14,因为hBC>hAB,所以山路从B处到C处比从A处到B处要陡峭的多.

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