1、课时作业11平面几何中的向量方法 知识点一 平行、垂直的问题1.已知点A(2，3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是()AA，B，C三点共线B.CA，B，C是锐角三角形的顶点DA，B，C是钝角三角形的顶点答案D解析(2,0)，(2,4)，40，C是钝角故选D.2若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形答案B解析因为|，|2|，所以|，则0，所以BAC90，即ABC是直角三角形，故选B.3在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式不成立的是()A|2B|2C|2D|2答案C解析()22|2，A正确
2、；同理|2成立，B正确；2|2，D正确故选C.4过点A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直线方程为()A2xy70 B2xy70Cx2y40 Dx2y40答案A解析设P(x，y)为直线上一点，则(x2，y3)依题意有a，即(x2)2(y3)10，即2xy70.故选A.5如图，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PFCE是矩形试用向量法证明：APEF.证明以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，P(m，m)，依题意，得E(1，m)，F(m，0)，A(0,1)，于是(m，m1)，(m1，m)，则m(m1)(m1)m
3、0，所以，即APEF.知识点二 长度和夹角的问题6.在ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，则BC边的中线AD的长是()A2 B.C3 D.答案B解析BC的中点为D，|.7如图，AB是O的直径，点P是O上任一点(不与A，B重合)，求证：APB90(用向量法证明)证明如图，连接OP，设向量a，b，则a，且ab，ab.b2a2|b|2|a|20，即APB90.8如图，在ABC中，BAC120，ABAC3，点D在线段BC上，且BDDC.求：(1)AD的长；(2)DAC的大小解(1)设a，b，则()ab.|222a22abb29233cos12093.AD.(2)设DAC，则为向
4、量与的夹角cos0.90.即DAC90.9ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于点F，连接DF.求证：ADBFDC.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则点D(0,1)于是(2,1)，(2,2)设F(x，y)由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0.又F点在AC上，则.而(x,2y)，因此，2(x)(2)(2y)0，即xy2.由式解得x，y，F，(0,1)，故.又|coscos，cos，即cosFDC，又cosADB，cosADBcosFDC，故ADBFDC.一、选择题1若a(1,2)，b(x,1)，且a2b与2ab平行，则x等
5、于()A2 B1 C. D.答案C解析a2b(12x,4)，2ab(2x,3)，a2b与2ab平行，84x36x0，解得x.2在ABC中，AB3，AC边上的中线BD，5，则AC的长为()A1 B2 C3 D4答案B解析因为，所以2222，即21，所以|2，即AC2.3已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B60 C90 D120答案A解析由0，得，两边平方得2222，由于|，则|22|cos，所以cos，则BOC60，所以ABOC30，故选A.4如图，在四边形ABCD中，B120，C150，且AB3，BC1，CD2，则AD的长所在区间为()A(2,3)B(3,4)
6、C(4,5)D(5,6)答案C解析，其中与的夹角为60，与的夹角为30，与的夹角为90，则|2()2|2|2|22229142312120172(16,25)，所以|(4,5)故选C.5在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则()A2 B4 C5 D10答案D解析将ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则642610.二、填空题6已知向量a(6,2)，b，直线l过点A(3，1)且与向量a2b垂直，则直线l的方程为_答案2x3y90解析a2b(6,2)2(2,3)设P(x，y)为所求直线l上任意一点，则(x3，y1)(a2b)0，2(x3)3(y1)0，整理得2x
7、3y90.2x3y90即为所求直线方程7已知P为ABC所在平面内一点，且满足，则APB的面积与APC的面积之比为_答案12解析由题意，得52，得222，得2()，如图所示，以PA，PB为邻边作PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则24.所以.8如图所示，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB的交点P的坐标为_答案解析设tt(4,4)(4t,4t)，则(4t3,4t)，(2,1)(3,0)(1,1)由，共线，得(4t3)14t(1)0，解得t.(4t,4t)，点P的坐标为.三、解答题9如图，已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(
8、1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值解(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)1(3)130，ABAD.(2)，四边形ABCD为矩形，.设点C的坐标为(x，y)，则(x1，y4)又(1,1)，解得点C的坐标为(0,5)(2,4)又(4,2)，|2，|2，8816.设与的夹角为，则cos.故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.10如图所示，正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，AE，CD交于点P.求证：BPDC.证明设，并设ABC的边长为a，则(21)，又.，(21)kk.于是有解得.()，又，从而a2a2a2cos600.BPDC.- 12 -
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