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4.2.2 指数函数的图象和性质
一、选择题
1．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x＞0时，f(x)＝x在(0，＋∞)上是减函数，
故选D.
答案：D
2．函数y＝a|x|(0<a<1)的图像是( )
解析：y＝a|x|(0<a<1)是偶函数，先画出x≥0时的图像，再作关于y轴对称的图像，∵0<a<1，故选C.
答案：C
3．若2a＋1＜3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C．(－∞，1) D.
解析：函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.
答案：B
4．设x＞0，且1＜bx＜ax，则( )
A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1
C．1＜b＜a D．1＜a＜b
解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.
∵bx＜ax，∴x＞1，又x＞0，∴＞1，
∴a＞b，即1＜b＜a.
答案：C
二、填空题
5．三个数，，中，最大的是________，最小的是________．
解析：因为函数y＝x在R上是减函数，
所以＞，
又在y轴右侧函数y＝x的图象始终在函数y＝x的图象的下方，
所以＞.即＞＞.
答案：
6．函数y＝的单调增区间是________．
解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.
当x≤2时，t随x增大而减小，
则y增大，即y＝的单调增区间为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
7．已知f(x)＝a－x(a＞0且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．
解析：f(x)＝a－x＝x，
∵f(－2)＞f(－3)，
∴－2＞－3，即a2＞a3.
∴a＜1，即0＜a＜1.
答案：(0,1)
三、解答题
8．比较下列各组值的大小：
(1)1.8－0.1与1.8－0.2；
(2)1.90.3与0.73.1；
(3)a1.3与a2.5(a＞0，且a≠1)．
解析：(1)由于1.8＞1，所以指数函数y＝1.8x，在R上为增函数．所以1.8－0.1＞1.8－0.2.
(2)因为1.90.3＞1,0.73.1＜1，所以1.90.3＞0.73.1.
(3)当a＞1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3＜a2.5，
当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3＞a2.5.
故当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5，当a＞1时，a1.3＜a2.5.
9．函数f(x)＝的定义域为集合A，关于x的不等式2x＞2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．
解析：由≥0，解得x≤－2或x＞1，
于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，
2x＞2－a－x⇔2x＞a＋x⇔2x＜a＋x⇔x＜a，所以B＝(－∞，a)．
因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a≤－2，
即a的取值范围是(－∞，－2]．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)＜2，求a的取值范围．
解析：当a＞1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递增，
此时f(x)≤f(2)＝a2，
由题意可知a2＜2，即a＜，所以1＜a＜.
当0＜a＜1时，
函数f(x)＝ax在[－2,2]上单调递减，
此时f(x)≤f(－2)＝a－2，
由题意可知a－2＜2，即a＞，所以＜a＜1.
综上所述，所求a的取值范围是∪(1，)．
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