2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十二正弦定理新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十二
正 弦 定 理

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2019·合肥高一检测)△ABC内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A=，a=3，b=2，则sin B= (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选D.因为A=，a=3，b=2，所以根据正弦定理可得sin B===.
2.在△ABC中，已知BC=，sin C=2sin A，则AB= (　　)
A. B.2 C. D.2
【解析】选D.由正弦定理，得AB=BC=2BC=2.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若tan A∶tan B=a∶b，则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
【解析】选A.因为tan A∶tan B=a∶b，
所以btan A=atan B，
所以=，
因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B≠0，所以cos A=cos B，即A=B，故△ABC是等腰三角形.
4.(2019·南充高一检测)在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC外接圆的直径为 (　　)
A.4 B.60
C.5 D.6
【解析】选C.因为由三角形的面积公式得：
S=acsin B=×1×c×=2，所以c=4，又因为a=1，cos B=，
根据余弦定理得：b2=1+32-8=25，解得b=5.
所以△ABC的外接圆的直径为==5.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.在△ABC中，已知A=60°，tan B=，a=2，则c=________. 
【解析】因为tan B=，所以sin B=，cos B=.又因为A=60°，所以
sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(120°-B)
=sin 120°cos B-cos 120°sin B=+.
由正弦定理，得=，
即c===.
答案：
6.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A+
acos B=0，则B=________. 
【解析】已知bsin A+acos B=0，由正弦定理可得sin Bsin A+sin Acos B=0，即sin B=-cos B，
又因为sin2B+cos2B=1，解得sin B=，cos B=-，故B=.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B， C所对的边且b=6，a=2，A=30°，求ac的值.
【解析】由正弦定理=得
sin B===.
由条件b=6，a=2，b>a知B>A.
所以B=60°或120°.
(1)当B=60°时，C=180°-A-B
=180°-30°-60°=90°.
在Rt△ABC中，C=90°，a=2，b=6，c=4，
所以ac=2×4=24.
(2)当B=120°时，C=180°-A-B
=180°-30°-120°=30°，
所以A=C，则有a=c=2.
所以ac=2×2=12.
8.(14分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m=(a，b)与n=(cos A，sin B)平行.
(1)求A.
(2)若a=，b=2，求sin C.
【解析】(1)因为m∥n，所以asin B-bcos A=0.由正弦定理，得
sin Asin B-sin Bcos A=0，又因为sin B≠0，从而tan A=.由于0<A<π，所以A=.
(2)由正弦定理，得=，
从而sin B=，
又由a>b，知A>B，所以cos B=.
故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin=.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c=a，B=30°，那么角C等于 (　　)
A.120°　　　B.105°　　　C.90°　　　D.75°
【解析】选A.因为c=a，所以sin C=sin A
=sin(180°-30°-C)
=sin(30°+C)=，
即sin C=-cos C.
所以tan C=-.又0°<C<180°，
所以C=120°.
2.(4分)(2019·通化高一检测)在△ABC中，已知sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，且满足ab=4，则该三角形的面积为
(　　)
A.1 B.2 C. D.
【解析】选D.因为sin2A+sin2B-sin Asin B=sin2C，
根据正弦定理得a2+b2-ab=c2，
由余弦定理得2abcos C=ab，所以cos C=，
所以sin C==，
所以S=absin C=×4×=.
3.(4分)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acos B-bcos A=c，则△ABC的形状为________.  
【解析】根据正弦定理，得a=2Rsin A，b=2Rsin B，C=2Rsin C(其中R是△ABC外接圆的半径)，
代入acos B-bcos A=c得
2Rsin Acos B-2Rsin Bcos A=2Rsin C，
所以sin Acos B-sin Bcos A=sin (A+B)，
所以sin Acos B-sin Bcos A
=sin Acos B+sin Bcos A，
所以2sin Bcos A=0，
又因为sin B≠0，所以cos A=0，
又A∈(0，π)，所以A=，
所以该三角形为直角三角形.
答案：直角三角形
　【加练·固】
在△ABC中，若3b=2asin B，cos A=cos C，则△ABC的形状为________. 
【解析】由正弦定理知b=2R·sin B，a=2R·sin A，则3b=2a·sin B可化为：3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°，
所以sin B≠0，所以sin A=，所以A=60°或120°，又cos A=cos C，所以A=C，所以A=60°，所以△ABC为等边三角形.
答案：等边三角形
4.(4分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，1+2cos(B+C)=0，则边BC上的高为________.  
【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A，得1-2cos A=0，所以cos A=，sin A=.
再由正弦定理，得sin B==.
由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<，
从而cos B==.
由上述结果知sin C=sin(A+B)=×=.设边BC上的高为h，则有h=bsin C=.
答案：
5.(14分)在△ABC中，求证：
(1)=.
(2)=.
【证明】(1)由余弦定理，
a2=b2+c2-2bccos A，于是
=
=1-·2cos A=1-·2cos A
=
=
=.
(2)方法一：=
=·==.
方法二：=
===.
【加练·固】
在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，确定△ABC的形状.
【解析】由正弦定理得=，
由2cos Asin B=sin C，有cos A==.
又由余弦定理得cos A=，
所以=，即c2=b2+c2-a2，
所以a2=b2，所以a=b.
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab，
所以(a+b)2-c2=3ab，所以4b2-c2=3b2，
即b2=c2.所以b=c，所以a=b=c.
所以△ABC为等边三角形.

1.在锐角三角形ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，A=2B，则的取值范围是________.  
【解析】在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即所以30°<B<45°.
由正弦定理知：===2cos B∈(，)，故的取值范围是(，).
答案：(，)
2.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，+=.
(1)求角A的大小.
(2)若a=2，△ABC的面积为，求边b，c.
【解析】(1)由+=及正弦定理得+=，
整理得，sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A，即 sin(A+B)=2sin Ccos A.
因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，且sin C≠0，
所以，cos A=.又0<A<π，所以，A=.
(2)因为△ABC的面积S=bcsin A=bcsin=，所以，bc=4.①
由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A，22=b2+c2-2bccos所以，b2+c2 =8，②
联立①②解得，b=c=2.

- 9 -