2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十三余弦定理正弦定理应用举例__距离问题新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十三余弦定理、正弦定理应用举例距离问题(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019诸暨高一检测)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50 m，ACB=45，CAB=105，则A，B两点间的距离为()A.50 mB.50 mC.25 mD. m【解析】选A.由题意知，在ABC中，AC=50 m，ACB=45，CAB=105，所以CBA=180-45-105=30，所以由正弦定理可得，AB=50(m).2.(2019苏州高一检测) 某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为()A.4 kmB.6 kmC.7 kmD.9 km【解析】选C.如图所示，由题意可知AB=3，BC=2，ABC=150，由余弦定理得AC2=27+4-232cos 150=49，所以AC=7，所以A，C两地距离为7 km.3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2+402-220t40cos 45=302.化简得：4t2-8t+7=0，所以t1+t2=2，t1t2=.从而|t1-t2|=1.4.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点.已知ACD为正三角形，且DC= km，当目标出现在B点时，测得CDB=45，BCD=75，则炮兵阵地与目标的距离是()A.1.1 kmB.2.2 kmC.2.9 kmD.3.5 km【解析】选C.CBD=180-BCD-CDB=60.在BCD中由正弦定理得BD=.在ABD中，ADB=45+60=105，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos 105=3+2=5+2.所以AB=2.9(km).答：炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.二、填空题(每小题4分，共8分)5.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题，2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示，没有完全断开)，树干与地面成75角，折断部分与地面成45角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是_米(结果保留根号).【解析】如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则AOB=75，ABO=45，所以OAB=60.由正弦定理知，=，所以OA=米，AB=米，所以OA+AB=米.答案：(5+5)6.(2019宁德高二检测)一艘船以每小时20 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60，行驶2 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为_km.【解析】由题意知，ABC中，AC=202=40，BAC=30，B=180-30-(90+15)=45，由正弦定理得，BC=20(km)，所以船与灯塔的距离为20 km.答案：20三、解答题(共26分)7.(12分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8 n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B，在货轮南偏东60.求：(1)A处与D处的距离.(2)灯塔C与D处之间的距离.【解析】由题意，画出示意图，如图所示.(1)在ABD中，由已知ADB=60，DAB=75，则B=45.由正弦定理，得AD=24(n mile).答：A处与D处之间距离为24 n mile.(2)在ADC中，由余弦定理，得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30=242+(8)2-2248=(8)2，所以CD=8(n mile).答：灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.【加练固】 如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB=6 m，ABD=60，DBC=90，DAB=75.试求C，D间的距离.【解析】ABC=ABD+DBC=60+90=150，所以C=180-150=30，ADB=180-75-60=45.ABD中，由正弦定理得AD=3.由余弦定理得BD=3+3.在RtBDC中，CD=6+6，即CD的长为(6+6) m.8.(14分)(2019眉山高一检测)如图，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.【解析】在ABP中，AB=30=20，APB=30，BAP=120，由正弦定理得BP=20，在BPC中，BC=30=40，由已知PBC=90，所以PC=20(海里).答：P，C间的距离为20海里.(15分钟30分)1.(4分)如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m，吊杆AC=15 m，吊索AB=5 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在ABC中，AC=15 m，AB=5 m，BC=10 m，由余弦定理得cos ACB=-，所以sin ACB=.又ACB+ACD=180，所以sin ACD=sin ACB=.在RtACD中，AD=ACsin ACD=15= (m).2.(4分)甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A. minB. hC.21.5 minD.2.15 h【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图.则BC=10-4t，BD=6t，CBD=120，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100，所以当t=时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以此时它们的航行时间是 min.3.(4分)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为_.【解析】因为A，B，C，D四点共圆，所以D+B=.在ABC和ADC中由余弦定理可得82+52-285cos(-D) =32+52-235cos D，整理得cos D=-，代入得AC2=32+52-235=49，故AC=7.答案：74.(4分)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得ADCD，AD=10 km，AB=14 km，BDA=60，BCD=135，则两景点B与C的距离为_(精确到0.1 km).参考数据：1.414，1.732，2.236.【解析】在ABD中，设BD=x km，则BA2=BD2+AD2-2BDADcos BDA，即142=x2+102-210xcos 60，整理得，x2-10x-96=0，解得，x1=16，x2=-6(舍去)，故BD=16 km，又因为BDA=60，ADCD，所以CDB=30.由正弦定理，得：=，所以BC=sin 30=811.3(km).所以两景点B与C的距离约为11.3 km.答案：11.3 km5.(14分)(2019怀化高二检测) 轮船A从某港口C将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口C北偏西 30且与C相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以v海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇，若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度应为多少？【解析】设相遇时轮船A航行的距离为S海里，则 S=.所以当t=时，Smin=10，v=30.答：轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时轮船A航距最短.1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度v为()A.8 km/hB.6 km/hC.2 km/hD.10 km/h【解析】选B.设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin =，从而cos =，所以由余弦定理得=+12-221，解得v=6(km/h).2.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60方向，且在港口B北偏西30方向上.一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？【解析】设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.在OBC中由题意易得BOC=30，CBO=60，所以OCB=90，因为BO=120，所以BC=60，OC=60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x1.在OCD中，由题意易得COD=30，OD=20x，CD=60(x-2).由余弦定理，得CD2=OD2+OC2-2ODOCcosCOD，所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-220x60cos 30.解得x=3或x=，因为x1，所以x=3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.【加练固】 如图所示，海中小岛A周围38n mile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30n mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？【解题指南】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38n mile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38n mile比较大小即可.【解析】在ABC中，BC=30，B=30，ACB=135，所以BAC=15，由正弦定理，得=，即=，所以AC=60cos 15=60cos(45-30)=60(cos 45cos 30+sin 45sin 30)=15(+)，所以A到BC的距离为d=ACsin 45=15(+1)，40.98n mile38n mile，所以继续向南航行，没有触礁危险.- 12 -