2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十三余弦定理正弦定理应用举例__距离问题新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十三
余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2019·诸暨高一检测)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测得AC的距离为50 m，∠ACB=45°，
∠CAB=105°，则A，B两点间的距离为 (　　)

A.50 m　　　　　　 B.50 m
C.25 m D. m
【解析】选A.由题意知，在△ABC中，AC=50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，所以∠CBA=180°-45°-105°=30°，所以由正弦定理可得，AB===50(m).
2.(2019·苏州高一检测) 某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为 (　　)
A.4 km　　　 B.6 km　　　
C.7 km　　　 D.9 km

【解析】选C.如图所示，由题意可知

AB=3，BC=2，∠ABC=150°，
由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×
cos 150°=49，
所以AC=7，所以A，C两地距离为7 km.
3.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为 (　　)
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
【解析】选B.设t小时后，B市恰好处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2+402-2×20t×40cos 45°=302.化简得：4t2-8t+7=0，所以t1+t2=2，t1t2=.
从而|t1-t2|==1.
4.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为正三角形，且DC= km，当目标出现在B点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离是 (　　)

A.1.1 km　　　 B.2.2 km
C.2.9 km　　　 D.3.5 km
【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中由正弦定理得BD==.
在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，
由余弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos 105°
=3++2×××
=5+2.所以AB=≈2.9(km).
答：炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象，不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示，没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号). 

【解析】如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠AOB=75°，∠ABO=45°，所以∠OAB=60°.

由正弦定理知，==，
所以OA=米，AB=米，
所以OA+AB=米.
答案：(5+5)
6.(2019·宁德高二检测)一艘船以每小时20 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶2 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_______km. 

【解析】由题意知，△ABC中，AC=20×2=40，
∠BAC=30°，
∠B=180°-30°-(90°+15°)=45°，
由正弦定理得，BC=
==20(km)，
所以船与灯塔的距离为20 km.
答案：20
三、解答题(共26分)
7.(12分)海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：
(1)A处与D处的距离.
(2)灯塔C与D处之间的距离.
【解析】由题意，画出示意图，如图所示.

(1)在△ABD中，
由已知∠ADB=60°，∠DAB=75°，
则B=45°.
由正弦定理，得AD==24(n mile).
答：A处与D处之间距离为24 n mile.
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2=AD2+AC2-2AD×ACcos 30°
=242+(8)2-2×24×8×=(8)2，
所以CD=8(n mile).
答：灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.
【加练·固】
　　 如图所示，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB=6 m，∠ABD=60°，∠DBC=90°，∠DAB=75°.试求C，D间的距离.

【解析】∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+90°=150°，所以∠C=180°-150°=30°，
∠ADB=180°-75°-60°=45°.
△ABD中，由正弦定理得AD==3.
由余弦定理得
BD==3+3.在Rt△BDC中，CD==6+6，
即CD的长为(6+6) m.
8.(14分)(2019·眉山高一检测)如图，某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.

【解析】在△ABP中，AB=30×=20，
∠APB=30°，∠BAP=120°，
由正弦定理得
BP===20，
在△BPC中，BC=30×=40，
由已知∠PBC=90°，所以
PC==
=20(海里).
答：P，C间的距离为20海里.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m，吊杆AC=15 m，吊索AB=5 m，起吊的货物与岸的距离AD为 (　　)

A.30 m B. m
C.15 m D.45 m
【解析】选B.在△ABC中，AC=15 m，AB=5 m，BC=10 m，
由余弦定理得cos ∠ACB==
=-，所以sin ∠ACB=.
又∠ACB+∠ACD=180°，
所以sin ∠ACD=sin ∠ACB=.
在Rt△ACD中，AD=ACsin ∠ACD=15×= (m).
2.(4分)甲船在岛B的正南A处，AB=10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们的航行时间是 (　　)
A. min　　　　　 B. h
C.21.5 min D.2.15 h
【解析】选A.由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图.则BC=10-4t，BD=6t，∠CBD=120°，根据余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠CBD=(10-4t)2+36t2+6t(10-4t)=28t2-20t+100，所以当t=时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以此时它们的航行时间是 min.

3.(4分)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________. 

【解析】因为A，B，C，D四点共圆，
所以∠D+∠B=π.在△ABC和△ADC中由余弦定理可得
82+52-2×8×5×cos(π-D) =32+52-2×3×5×cos D，
整理得cos D=-，
代入得AC2=32+52-2×3×5×=49，故AC=7.
答案：7
4.(4分)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD=10 km，AB=14 km，∠BDA=60°，
∠BCD=135°，则两景点B与C的距离为________(精确到0.1 km).参考数据： 
≈1.414，≈1.732，≈2.236.

【解析】在△ABD中，设BD=x km，
则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos ∠BDA，
即142=x2+102-2·10x·cos 60°，
整理得，x2-10x-96=0，
解得，x1=16，x2=-6(舍去)，故BD=16 km，
又因为∠BDA=60°，AD⊥CD，
所以∠CDB=30°.
由正弦定理，得：=，
所以BC=·sin 30°=8≈11.3(km).
所以两景点B与C的距离约为11.3 km.
答案：11.3 km
5.(14分)(2019·怀化高二检测) 轮船A从某港口C将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口C北偏西 30°且与C相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以v海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇，若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度应为多少？
【解析】设相遇时轮船A航行的距离为S海里，
则 S=

==.
所以当t=时，Smin=10，v==30.
答：轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时轮船A航距最短.

1.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度v为 (　　)

A.8 km/h　　　　　　 B.6 km/h
C.2 km/h D.10 km/h
【解析】选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ==，从而cos θ=，所以由余弦定理得
=+12-2××2×1×，解得v=6(km/h).
2.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上.一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？

【解析】设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.
如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.

在△OBC中由题意易得∠BOC=30°，∠CBO=60°，
所以∠OCB=90°，
因为BO=120，所以BC=60，OC=60.
故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.
在△OCD中，由题意易得∠COD=30°，
OD=20x，CD=60(x-2).
由余弦定理，得CD2=OD2+OC2-2OD·OCcos∠COD，所以602(x-2)2=(20x)2+(60)2-2×20x×60×cos 30°.解得x=3或x=，因为x>1，所以x=3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.
【加练·固】
　　 如图所示，海中小岛A周围38n mile内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30n mile后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

【解题指南】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38n mile的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38n mile比较大小即可.
【解析】在△ABC中，BC=30，B=30°，
∠ACB=135°，所以∠BAC=15°，
由正弦定理，得=，
即=，
所以AC=60cos 15°=60cos(45°-30°)
=60(cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°)=15(+)，
所以A到BC的距离为d=ACsin 45°=15(+1)，
≈40.98n mile>38n mile，所以继续向南航行，没有触礁危险.

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