2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十四余弦定理正弦定理应用举例__高度角度问题新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十四
余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题

　　　　　(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2019·绍兴高一检测)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)

A.240m　　　 B.180m
C.120m D.30m
【解析】选C.如图，在△ACD中，∠CAD=90°-30°=60°，

AD=60 m，所以CD=AD·tan 60°=60(m).
在△ABD中，∠BAD=90°-75°=15°，
所以BD=AD·tan 15°=60(2-)(m).
所以BC=CD-BD=60-60(2-)
=120(-1)(m).
2.一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的 (　　)
A.北偏东75°
B.南偏东15°
C.北偏东75°或南偏东15°
D.以上方位都不对
【解析】选C.根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB=32×=16海里，BS=8海里，∠A=30°.

在△ABS中，由正弦定理得
=，
sin S=
==，
所以S=45°或135°，
所以B=105°或15°，
即灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°.
3.一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为 (　　)
A.北偏东80°，20(+)
B.北偏东65°，20(+)
C.北偏东65°，20(+)
D.北偏东80°，20(+)
【解析】选C.由题可知∠ABC=105°，在△ABC中，AB=40海里，BC=40海里，
所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40cos(60°+45°)
=3 200+1 600，所以AC=20(+)海里.
=⇒sin∠BAC==，所以∠BAC=45°，所以下次航行直接从A出发到C，航向为北偏东65°，路程为20(+)海里.

【加练·固】
　　 有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长(　　)
A.5 m　　　　　　　 B.10 m
C.10 m D.10 m
【解析】选C.如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，

在△ABB′中，∠B′=30°，∠BAB′=75°-30°=45°，AB=10 m.由正弦定理，
得BB′===10(m).
所以坡底要延伸10 m时，
斜坡的倾斜角将变为30°.
4.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是 (　　)

A.100 m　　　　　 B.400 m
C.200 m D.500 m
【解析】选D.设AB=x m，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
所以BC=AB=x m；
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
所以BD=x m.在△BCD中，∠BCD=120°，CD=500 m，
由余弦定理得(x)2=x2+5002-2×500xcos 120°，解得x=500.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.(2019·宜昌高一检测)如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为________米. 

【解析】在△ADC中，∠DAC=60°-30°=30°.
由正弦定理，得AC=，
所以AB=ACsin 60°==10(米).
答案：10
6.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x=________cm. 

【解析】如图所示，在△ABC中，AB=x cm，BC=10 cm，∠ABC=180°-105°=75°，
∠BCA=180°-135°=45°，所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.由正弦定理得：=，
所以x=.
答案：
三、解答题(共26分)
7.(12分)(2019·眉山高一检测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC=60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.

(1)求A、C两地的距离.
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
【解析】(1)由题意，设AC=x m，
则BC=x-×340=(x-40)m.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC，
即(x-40)2=10 000+x2-100x，解得x=420.
所以A，C两地间的距离为420 m.
(2)在Rt△ACH中，AC=420 m，∠CAH=30°，
所以CH=ACtan∠CAH=140 m.
答：该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
8.(14分)(2019·宜昌高一检测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.

(1)求渔船甲的速度.
(2)求sin α的值.
【解析】(1)依题意，∠BAC=120°，AB=12海里，
AC=10×2=20(海里)，∠BCA=α，
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos 120°=784
解得BC=28海里，所以渔船甲的速度为
=14海里/小时.
(2)在△ABC中，因为∠BAC=120°，
AB=12海里，BC=28海里，∠BCA=α，
由正弦定理，得=，
即sin α===.
所以sin α的值为.

　　　　　(15分钟·30分)
1.(4分)在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　)
A.200 m B.300 m
C.400 m D.100 m
【解析】选B.如图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，BD=ED=600 m，BC=DC=
200 m.

在△BCD中，由余弦定理可得
cos 2θ==，
所以2θ=30°，4θ=60°.在Rt△ABC中，
AB=BC·sin 4θ=200×=300(m).
2.(4分)(2019·兰州高二检测) 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向即沿直线CB前往B处救援，则 cos θ 等于 (　　)

A. B.
C. D.
【解析】选B.在△ABC中，AB=40海里，
AC=20海里，∠BAC=120°，
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800，
所以BC=20海里.
由正弦定理得sin∠ACB= ·sin∠BAC= .由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，
cos∠ACB= .cos θ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°= .
3.(4分)如图，要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)，可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量.已知AB=20米，且测出∠CAD=，∠ACB=，则灯塔CD的高度为________. 

【解析】在Rt△ABC中，AC==20(米).
在△ACD中，由正弦定理可知=，从而CD=.
又∠ADC=π-∠CAD-∠ACD=π--=，
sin∠ADC=sin=sin=，
所以CD==20(3-)(米).
答案：20(3-)米
4.(4分)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m，则山高MN=________m.  

【解析】根据题意知，AC=100 m.在△MAC中，∠CMA=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得=⇒AM=100 m.在△AMN中，=sin 60°，
所以MN=100×=150(m).
答案：150
5.(14分)(2019·大庆高一检测)如图所示，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B，D间的距离为21海里.

(1)求sin∠BDC的值.
(2)试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A？
【解析】(1)由已知，CD=40×=20海里.
在△BCD中，据余弦定理的推论，有
cos∠BDC==-，
所以sin∠BDC==.
(2)由已知可得，∠BAD=20°+40°=60°，
所以sin∠ABD=sin(∠BDC-60°)
=×-×=.
在△ABD中，根据正弦定理，
有=，
则AD===15(海里).
所以t=×60=22.5(分钟).
答：这艘游轮再向前航行22.5分钟方可到达城市A.

1.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60 m，则建筑物的高度为 (　　)

A.15 m　　　　　 B.20 m
C.25 m D.30 m
【解析】选D.设建筑物的高度为h m，
由题图知，PA=2h m，PB=h m，
PC=2h m，
所以在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理的推论，
得cos∠PBA=，①
cos∠PBC=.②
因为∠PBA+∠PBC=180°.
所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③，解得h=30或h=-30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
2.如图，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B，D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.

【解析】设∠ABD=α，在△ABD中，AD=30，
BD=42，∠BAD=60°.
由正弦定理得=，
sin α=sin ∠BAD=sin 60°=，
又因为AD<BD，所以0°<α<60°，cos α==，cos ∠BDC=
cos (60°+α)=-.
在△BDC中，由余弦定理得BC2=DC2+BD2-2DC·BDcos ∠BDC=402+422-2×40×
42cos (60°+α)=3 844，BC=62 km，即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.

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