1、课时素养评价 十四余弦定理、正弦定理应用举例高度、角度问题(25分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019绍兴高一检测)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240mB.180mC.120mD.30m【解析】选C.如图,在ACD中,CAD=90-30=60,AD=60 m,所以CD=ADtan 60=60(m).在ABD中,BAD=90-75=15,所以BD=ADtan 15=60(2-)(m).所以BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).2.一艘客船上午9:30在A处测得灯
2、塔S在它的北偏东30方向上,之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距8海里,则灯塔S在B处的()A.北偏东75B.南偏东15C.北偏东75或南偏东15D.以上方位都不对【解析】选C.根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32=16海里,BS=8海里,A=30.在ABS中,由正弦定理得=,sin S=,所以S=45或135,所以B=105或15,即灯塔S在B处的北偏东75或南偏东15.3.一艘轮船从A出发,沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东35的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C
3、,此船航行的方向和路程(海里)分别为()A.北偏东80,20(+)B.北偏东65,20(+)C.北偏东65,20(+)D.北偏东80,20(+)【解析】选C.由题可知ABC=105,在ABC中,AB=40海里,BC=40海里,所以AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=402+(40)2-24040cos(60+45)=3 200+1 600,所以AC=20(+)海里.=sinBAC=,所以BAC=45,所以下次航行直接从A出发到C,航向为北偏东65,路程为20(+)海里.【加练固】 有一长为10 m的斜坡,倾斜角为75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为3
4、0,则坡底要延长()A.5 mB.10 mC.10 mD.10 m【解析】选C.如图,设将坡底加长到B时,倾斜角为30,在ABB中,B=30,BAB=75-30=45,AB=10 m.由正弦定理,得BB=10(m).所以坡底要延伸10 m时,斜坡的倾斜角将变为30.4.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45,30,在水平面上测得BCD=120,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是()A.100 mB.400 mC.200 mD.500 m【解析】选D.设AB=x m,在RtABC中,ACB=45,所以
5、BC=AB=x m;在RtABD中,ADB=30,所以BD=x m.在BCD中,BCD=120,CD=500 m,由余弦定理得(x)2=x2+5002-2500xcos 120,解得x=500.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2019宜昌高一检测)如图所示,为测量一水塔AB的高度,在C处测得塔顶的仰角为60,后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30,则水塔的高度为_米.【解析】在ADC中,DAC=60-30=30.由正弦定理,得AC=,所以AB=ACsin 60=10(米).答案:106.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105,爬得10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向
6、右转135爬行可回到它的出发点,那么x=_cm.【解析】如图所示,在ABC中,AB=x cm,BC=10 cm,ABC=180-105=75,BCA=180-135=45,所以BAC=180-75-45=60.由正弦定理得:=,所以x=.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)(2019眉山高一检测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100 m,BAC=60,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30.(1)求A、C两地的距离.(2)求该仪
7、器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解析】(1)由题意,设AC=x m,则BC=x-340=(x-40)m.在ABC中,由余弦定理,得BC2=BA2+AC2-2BAACcosBAC,即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.所以A,C两地间的距离为420 m.(2)在RtACH中,AC=420 m,CAH=30,所以CH=ACtanCAH=140 m.答:该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.8.(14分)(2019宜昌高一检测)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行
8、,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度.(2)求sin 的值.【解析】(1)依题意,BAC=120,AB=12海里,AC=102=20(海里),BCA=,在ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220cos 120=784解得BC=28海里,所以渔船甲的速度为=14海里/小时.(2)在ABC中,因为BAC=120,AB=12海里,BC=28海里,BCA=,由正弦定理,得=,即sin =.所以sin 的值为.(15分钟30分)1.(4分)在某个位置测得某山峰仰角为,对着山峰在地面上前进600
9、m后测得仰角为2,继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4,则该山峰的高度为()A.200 mB.300 mC.400 mD.100 m【解析】选B.如图所示,BED,BDC为等腰三角形,BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.在BCD中,由余弦定理可得cos 2=,所以2=30,4=60.在RtABC中,AB=BCsin 4=200=300(m).2.(4分)(2019兰州高二检测) 如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东 的方向即沿直线CB
10、前往B处救援,则 cos 等于()A.B.C.D.【解析】选B.在ABC中,AB=40海里,AC=20海里,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=20海里.由正弦定理得sinACB= sinBAC= .由BAC=120知ACB为锐角,cosACB= .cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACBsin 30= .3.(4分)如图,要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分),可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量.已知AB=20米,且测出CAD=,ACB=,则灯塔CD的高度为_.【解析】在RtABC中,AC=20(
11、米).在ACD中,由正弦定理可知=,从而CD=.又ADC=-CAD-ACD=-=,sinADC=sin=sin=,所以CD=20(3-)(米).答案:20(3-)米4.(4分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=_m.【解析】根据题意知,AC=100 m.在MAC中,CMA=180-75-60=45.由正弦定理得=AM=100 m.在AMN中,=sin 60,所以MN=100=150(m).答案:1505.(14分)(2019大庆高一检
12、测)如图所示,某海滨城市位于海岸A处,在城市A的南偏西20方向有一个海面观测站B,现测得与B处相距31海里的C处,有一艘豪华游轮正沿北偏西40方向,以40海里/小时的速度向城市A直线航行,30分钟后到达D处,此时测得B,D间的距离为21海里.(1)求sinBDC的值.(2)试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A?【解析】(1)由已知,CD=40=20海里.在BCD中,据余弦定理的推论,有cosBDC=-,所以sinBDC=.(2)由已知可得,BAD=20+40=60,所以sinABD=sin(BDC-60)=-=.在ABD中,根据正弦定理,有=,则AD=15(海里).所以t=60=22.
13、5(分钟).答:这艘游轮再向前航行22.5分钟方可到达城市A.1.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30,45,60,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为()A.15 mB.20 mC.25 mD.30 m【解析】选D.设建筑物的高度为h m,由题图知,PA=2h m,PB=h m,PC=2h m,所以在PBA和PBC中,分别由余弦定理的推论,得cosPBA=,cosPBC=.因为PBA+PBC=180.所以cosPBA+cosPBC=0.由,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30 m.2.如图,正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的
14、渔政船乙,同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号,此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40方向距渔政船甲70 km的C处,渔政船乙在渔政船甲的南偏西20方向的B处,两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援,渔政船乙仍留在B处执行任务,渔政船甲航行30 km到达D处时,收到新的指令另有重要任务必须执行,于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙),此时B,D两处相距42 km,问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.【解析】设ABD=,在ABD中,AD=30,BD=42,BAD=60.由正弦定理得=,sin =sin BAD=sin 60=,又因为ADBD,所以060,cos =,cos BDC=cos (60+)=-.在BDC中,由余弦定理得BC2=DC2+BD2-2DCBDcos BDC=402+422-24042cos (60+)=3 844,BC=62 km,即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.- 12 -