2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价十四余弦定理正弦定理应用举例__高度角度问题新人教A版必修2.doc

课时素养评价 十四余弦定理、正弦定理应用举例高度、角度问题(25分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2019绍兴高一检测)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A.240mB.180mC.120mD.30m【解析】选C.如图，在ACD中，CAD=90-30=60，AD=60 m，所以CD=ADtan 60=60(m).在ABD中，BAD=90-75=15，所以BD=ADtan 15=60(2-)(m).所以BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)(m).2.一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30方向上，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里，则灯塔S在B处的()A.北偏东75B.南偏东15C.北偏东75或南偏东15D.以上方位都不对【解析】选C.根据题意画出示意图，如图，由题意可知AB=32=16海里，BS=8海里，A=30.在ABS中，由正弦定理得=，sin S=，所以S=45或135，所以B=105或15，即灯塔S在B处的北偏东75或南偏东15.3.一艘轮船从A出发，沿南偏东70的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为()A.北偏东80，20(+)B.北偏东65，20(+)C.北偏东65，20(+)D.北偏东80，20(+)【解析】选C.由题可知ABC=105，在ABC中，AB=40海里，BC=40海里，所以AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=402+(40)2-24040cos(60+45)=3 200+1 600，所以AC=20(+)海里.=sinBAC=，所以BAC=45，所以下次航行直接从A出发到C，航向为北偏东65，路程为20(+)海里.【加练固】 有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡底要延长()A.5 mB.10 mC.10 mD.10 m【解析】选C.如图，设将坡底加长到B时，倾斜角为30，在ABB中，B=30，BAB=75-30=45，AB=10 m.由正弦定理，得BB=10(m).所以坡底要延伸10 m时，斜坡的倾斜角将变为30.4.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得BCD=120，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是()A.100 mB.400 mC.200 mD.500 m【解析】选D.设AB=x m，在RtABC中，ACB=45，所以BC=AB=x m；在RtABD中，ADB=30，所以BD=x m.在BCD中，BCD=120，CD=500 m，由余弦定理得(x)2=x2+5002-2500xcos 120，解得x=500.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2019宜昌高一检测)如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30，则水塔的高度为_米.【解析】在ADC中，DAC=60-30=30.由正弦定理，得AC=，所以AB=ACsin 60=10(米).答案：106.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬得10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行可回到它的出发点，那么x=_cm.【解析】如图所示，在ABC中，AB=x cm，BC=10 cm，ABC=180-105=75，BCA=180-135=45，所以BAC=180-75-45=60.由正弦定理得：=，所以x=.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)(2019眉山高一检测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，BAC=60，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30.(1)求A、C两地的距离.(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)【解析】(1)由题意，设AC=x m，则BC=x-340=(x-40)m.在ABC中，由余弦定理，得BC2=BA2+AC2-2BAACcosBAC，即(x-40)2=10 000+x2-100x，解得x=420.所以A，C两地间的距离为420 m.(2)在RtACH中，AC=420 m，CAH=30，所以CH=ACtanCAH=140 m.答：该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.8.(14分)(2019宜昌高一检测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度.(2)求sin 的值.【解析】(1)依题意，BAC=120，AB=12海里，AC=102=20(海里)，BCA=，在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=122+202-21220cos 120=784解得BC=28海里，所以渔船甲的速度为=14海里/小时.(2)在ABC中，因为BAC=120，AB=12海里，BC=28海里，BCA=，由正弦定理，得=，即sin =.所以sin 的值为.(15分钟30分)1.(4分)在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A.200 mB.300 mC.400 mD.100 m【解析】选B.如图所示，BED，BDC为等腰三角形，BD=ED=600 m，BC=DC=200 m.在BCD中，由余弦定理可得cos 2=，所以2=30，4=60.在RtABC中，AB=BCsin 4=200=300(m).2.(4分)(2019兰州高二检测) 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线CB前往B处救援，则 cos 等于()A.B.C.D.【解析】选B.在ABC中，AB=40海里，AC=20海里，BAC=120，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800，所以BC=20海里.由正弦定理得sinACB= sinBAC= .由BAC=120知ACB为锐角，cosACB= .cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACBsin 30= .3.(4分)如图，要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)，可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量.已知AB=20米，且测出CAD=，ACB=，则灯塔CD的高度为_.【解析】在RtABC中，AC=20(米).在ACD中，由正弦定理可知=，从而CD=.又ADC=-CAD-ACD=-=，sinADC=sin=sin=，所以CD=20(3-)(米).答案：20(3-)米4.(4分)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60，C点的仰角CAB=45以及MAC=75；从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m，则山高MN=_m.【解析】根据题意知，AC=100 m.在MAC中，CMA=180-75-60=45.由正弦定理得=AM=100 m.在AMN中，=sin 60，所以MN=100=150(m).答案：1505.(14分)(2019大庆高一检测)如图所示，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B，D间的距离为21海里.(1)求sinBDC的值.(2)试问这艘游轮再向前航行多少分钟方可到达城市A？【解析】(1)由已知，CD=40=20海里.在BCD中，据余弦定理的推论，有cosBDC=-，所以sinBDC=.(2)由已知可得，BAD=20+40=60，所以sinABD=sin(BDC-60)=-=.在ABD中，根据正弦定理，有=，则AD=15(海里).所以t=60=22.5(分钟).答：这艘游轮再向前航行22.5分钟方可到达城市A.1.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且AB=BC=60 m，则建筑物的高度为()A.15 mB.20 mC.25 mD.30 m【解析】选D.设建筑物的高度为h m，由题图知，PA=2h m，PB=h m，PC=2h m，所以在PBA和PBC中，分别由余弦定理的推论，得cosPBA=，cosPBC=.因为PBA+PBC=180.所以cosPBA+cosPBC=0.由，解得h=30或h=-30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.2.如图，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B，D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.【解析】设ABD=，在ABD中，AD=30，BD=42，BAD=60.由正弦定理得=，sin =sin BAD=sin 60=，又因为ADBD，所以060，cos =，cos BDC=cos (60+)=-.在BDC中，由余弦定理得BC2=DC2+BD2-2DCBDcos BDC=402+422-24042cos (60+)=3 844，BC=62 km，即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救.- 12 -