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课时素养评价 十八
函数的表示法
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列表格中的x与y能构成函数的是 ( )
A.
x
非负数
非正数
y
1
-1
B.
x
有理数
无理数
y
1
-1
C.
x
奇数
偶数
y
1
-1
D.
x
自然数
整数
有理数
y
1
0
-1
【解析】选B、C.选项A中,x=0时,y有2个数值与之对应,D中任一个自然数都有3个数值与之对应.
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数的值域是 ( )
A.[-5,6] B.[2,6] C.[0,6] D.[2,3]
【解析】选C.观察函数y=f(x)的图象上所有的纵坐标,可知此函数的值域是[0,6].
3.函数y=的图象是 ( )
【解析】选C.由题意知,函数可化为y===1-,所以可将函数y=-的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y=的图象.
4.已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则g(f(1))的值为 ( )
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
A.3 B.2 C.1 D.0
【解析】选C.由y=g(x)的图象及y=f(x)的对应关系表得g(f(1))=g(2)=1.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知函数f=x2+,则f(3)=________.
【解析】因为f=x2+
=+2,所以f(x)=x2+2,
所以f(3)=32+2=11.
答案:11
【延伸探究】把本题条件改为f=x2+,如何求f(3)?
【解析】因为f=x2+
=-2,所以f(x)=x2-2,
所以f(3)=32-2=7.
6.已知函数p=f(m)的图象如图所示,则
(1)函数p=f(m)的定义域为________.
(2)p∈________时,只有唯一的m值与之对应.
【解析】(1)观察函数p=f(m)的图象,可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是-3≤m≤0或1≤m≤4,所以定义域为[-3,0]∪[1,4].
(2)由图象知:p∈(0,2]时,只有唯一的m值与之对应.
答案:(1)[-3,0]∪[1,4] (2)(0,2]
三、解答题(共26分)
7.(12分)画出下列函数的图象:
(1)y=x+1(x≤0).
(2)y=x2-2x(x>1或x<-1).
【解析】(1)y=x+1(x≤0)表示一条射线,图象如图(1).
(2)y=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线.如图(2).
8.(14分)(1)已知f=,求f(x)的解析式.
(2)已知y=f(x)是一次函数,且有f(f(x))=9x+8,求此一次函数的解析式.
【解析】(1)设t=,则x=,由x≠1可得t≠0且t≠1,代入f=,
可得f(t)==,
所以f(x)=(x≠0且x≠1).
(2)设f(x)=ax+b,则f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8,由x的任意性可得
解得或
所以解析式为f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.
(15分钟·30分)
1.(4分)函数y=ax2+bx+c与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是 ( )
【解析】选D.由a的符号排除B、C,又因为A中y轴为抛物线的对称轴,即b=0,也应排除.
【拓展延伸】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象与系数的关系
(1)a决定开口方向及开口大小,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
(2)c决定二次函数与y轴交点的位置.当x=0时,y=c,所以二次函数与y轴有且只有一个交点(0,c).
①当c=0时,抛物线经过原点;
②当c>0时,抛物线与y轴交于正半轴;
③当c<0时,抛物线与y轴交于负半轴.
2.一次函数y=kx+b图象跨越的象限
k>0,b>0时,函数图象经过一、二、三象限;
k>0,b<0时,函数图象经过一、三、四象限;
k<0,b>0时,函数图象经过一、二、四象限;
k<0,b<0时,函数图象经过二、三、四象限.
2.(4分)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是 ( )
A.(0,4] B.
C. D.
【解析】选C.因为y=x2-3x-4=-,所以对称轴为直线x=,当x=时,y=-.
因为x=0时,y=-4,由二次函数图象可知
解得≤m≤3,所以m的取值范围是.
3.(4分)观察下表
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)
5
1
-1
-3
3
5
g(x)
1
4
2
3
-2
-4
则f[g(3)-f(-1)]=________.
【解析】由表可知,f(-1)=-1,g(3)=-4,
所以g(3)-f(-1)=-4-(-1)=-3,
所以f[g(3)-f(-1)]=f(-3)=5.
答案:5
4.(4分)若f(2x+1)=4x2+4x,则f(x)的解析式为________.
【解析】令2x+1=t,则x=.
所以f(t)=4×+4×=t2-1,
所以f(x)=x2-1.
答案:f(x)=x2-1
5.(14分)已知二次函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=4x,且f(0)=2.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)在区间(-1,2]上,求函数f(x)的值域.
【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
因为f(0)=2,所以c=2,
因为f(x+2)-f(x)=4x,
所以a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4x,
整理得4(a-1)x+4a+2b=0
由x的任意性可得
解得a=1,b=-2,
所以f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)知,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
作出函数图象如图所示,
观察图象可知,此函数的值域为[1,5).
【拓展延伸】二次函数解析式的设法
(1)若已知对称轴或顶点坐标,常设配方式f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
(2)若已知f(x)过三点,常设一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
(3)若已知f(x)与x轴两交点的横坐标为x1,x2,常设分解式,f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
1.一旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系:
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高,每间房的定价应为 ( )
A.100元 B.90元
C.80元 D.60元
【解析】选C.住房率与每天房价是函数关系,这种关系在题中是用表格的形式表示出来的,而每天的收入=房价×住房率×间数(100),我们也可以列出相应的表格:
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
收入
6 500
6 750
6 800
5 700
从表格很清楚地看到,每间房定价在80元时,每天的收入最高.
2.(1)已知f(x)+2f(-x)=x+1,求f(x)的解析式.
(2)设f(x)是R上的函数,且f(0)=1,并且对任意实数x,y都有f(x-y)=f(x) -y(2x-y+1),求f(x)的解析式.
【解析】(1)因为f(x)+2f(-x)=x+1,
所以f(-x)+2f(x)=-x+1.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)=-x+.
(2)方法一:由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),
设x=y,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).
因为f(0)=1,所以f(x)-x(2x-x+1)=1,
即f(x)=x2+x+1.
方法二:令x=0,
得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),
即f(-y)=1-y(-y+1).又令-y=x,代入上式得:f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1),
所以f(x)=x2+x+1.
8
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