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课时素养评价 二十
函数的单调性
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个函数中在(-∞,0]上单调递减的是 ( )
A.f(x)=x2-2x B.f(x)=-x2
C.f(x)=x+1 D.f(x)=
【解析】选A、D.在A中,f(x)=x2-2x的减区间为(-∞,1],故A符合题意;在B中,f(x)=-x2的减区间为[0,+∞),故B不符合题意;在C中,f(x)=x+1在R上是增函数,故C不符合题意;在D中,f(x)=在(-∞,1)上单调递减,所以在(-∞,0]上单调递减,故D符合题意.
【加练·固】(2019·綦江高一检测)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是 ( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
【解析】选D.根据题意,依次分析选项:
对于A,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,A错误;对于B,若f(x)=x,
则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,C错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),对于y=-f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0,则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.
2.设(a,b),(c,d)都是函数f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是 ( )
A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)
C.f(x1)=f(x2) D.不能确定
【解析】选D.根据单调性定义,所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量,才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小,因为x1,x2不在同一单调区间内,所以选D.
3.可推得函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,2]上单调递增的一个条件是 ( )
A.a=0 B.
C. D.
【解析】选B.若a>0,函数f(x)=ax2-2x+1,开口向上,对称轴为x=-=,
要使f(x)在区间[1,2]上单调递增,
可以推出若a<0,图象开口向下,要求≥2,显然不可能,当a=0时,f(x)=-2x+1,在[1,2]上单调递减,不合题意.
4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则 ( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a)
C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a)
【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在(-∞,
+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a).
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.函数f(x)=x2-3|x|+2的单调递减区间是______,单调递增区间是______.
【解析】化简函数为f(x)=
作出函数图象如图,
由图象不难得出,函数的单调递减区间为-∞,-和,
单调递增区间为和.
答案:和
和
6.已知函数y=f(x)是定义在区间(-2,2)上的减函数,若f(m-1)>f(1-2m),则m的取值范围是________.
【解析】由题意得
解得-<m<.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(12分)求函数y=|x2+2x-3|的单调区间.
【解析】令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4作出f(x)的图象.保留其在x轴及其上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,由图象可得原函数的增区间为[-3,-1]和[1,+∞),减区间是(-∞,-3]和[-1,1].
8.(14分)已知函数f(x)=ax+(a,b是常数),且满足f(1)=3,f(2)=.
(1)求a,b的值.
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性,并用定义证明.
【解析】(1)因为函数f(x)=ax+,
f(1)=3,f(2)=,
所以解得故a=2,b=1.
(2)f(x)在区间上单调递减.由(1)知f(x)=2x+,∀x1,x2∈,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2x1+-2x2-
=(x1-x2),因为∀x1,x2∈,且x1<x2,
所以x1-x2<0,x1x2<,2-<0,
故f(x1)-f(x2)>0,故f(x)在区间上单调递减.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在(2,+∞)上单调递增,则 ( )
A.f(-1)<f(3)<f(6)
B.f(3)<f(-1)<f(6)
C.f(6)<f(-1)<f(3)
D.f(6)<f(3)<f(-1)
【解析】选B.由f(2+x)=f(2-x)知,f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5),又f(x)在(2,
+∞)上单调递增,所以f(3)<f(5)<f(6),即f(3)<f(-1)<f(6).
2.(4分)若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范围是
( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
【解析】选B.因为函数f(x)=2|x-a|+3=因为函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,所以a>1,
所以a的取值范围是(1,+∞).
3.(4分)已知函数y=-x2+4ax在区间[-1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是________.
【解析】根据题意,函数y=-x2+4ax为二次函数,且开口向下,其对称轴为x=2a,
若其在区间[-1,2]上单调递减,则2a≤-1,
所以a≤-,即a的取值范围为.
答案:
4.(4分)f(x)=在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________.
【解析】因为f(x)为R上的减函数,
所以当x≤1时,f(x)单调递减,即a-4<0 ①,
当x>1时,f(x)单调递减,即a>0 ②且(a-4)×1+5≥2a ③,联立①②③解得,0<a≤1.
答案:(0,1]
5.(14分)已知函数f(x)=,且f(1)=3,f(2)=.
(1)求a,b的值,写出f(x)的表达式.
(2)判断f(x)在区间[1,+∞)上的增减性,并用单调性的定义加以证明.
【解析】(1)因为
所以解得
所以f(x)=.
(2)f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
证明:∀x1,x2∈[1,+∞),
且x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)·,因为x1<x2,
所以x1-x2<0,又因为x1≥1,x2>1,
所以x1x2>1,2x1x2>2>1,即2x1x2-1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.
1.已知函数f(x)=的增区间为[-1,+∞),则实数a的取值范围是________.
【解析】当x<0时,f(x)=x2+2x-3的对称轴为x=-1,
当-1≤x<0时,函数f(x)单调递增,
当x≥0时,f(x)单调递增,
要使函数在[-1,+∞)上单调递增,
则满足f(0)=0+a≥-3,即a≥-3.
答案:[-3,+∞)
2.已知函数f(x+1)=.
(1)求f(2),f(x).
(2)用定义证明函数f(x)在(-1,+∞)上的单调性.
【解析】(1)因为f(x+1)=,令x=1,
得f(2)=f(1+1)=1,令t=x+1,则x=t-1,
所以f(t)=,即f(x)=.
(2)∀x1,x2∈(-1,+∞)且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=-
=,
又因为-1<x1<x2,x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,
所以<0,f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
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